Pinta de Dirac

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
La pinta de Dirac és una sèrie infinita de deltes de Dirac separades per un interval T.

En matemàtiques, la pinta de Dirac (també anomenada tren d'impulsos o funció de mostratge en electrotècnia) és una distribució temperada periòdica[1] construïda a partir de deltes de Dirac[2]

per un període donat T. El símbol representa la pinta de Dirac de període unitat.[1] Alguns autors, en particular Bracewell, així com autors de llibres d'enginyeria elèctrica i teoria de circuits també s'hi refereixen com a funció Shah[2] (possiblement per la seva grafia, molt similar a la lletra ciríl·lica xa majúscula Ш). Pel fet de ser periòdica es pot expressar com a sèrie de Fourier:

Canvi d'escala[modifica]

La propietat del canvi d'escala s'obté directament de les propietats de la delta de Dirac.[3] Amb per a qualsevol nombre diferent de zero, s'obté:

Cal notar que el signe de no altera el resultat.

Sèrie de Fourier[modifica]

És evident que és periòdica amb període . Això significa que

per a tot t.

Sèrie de Fourier complexa[modifica]

La seva sèrie de Fourier complexa és

on els coeficients de Fourier són

Tot els coeficients de Fourier són 1/T, per tant la sèrie de Fourier resultant és

Quan el període és unitari se simplifica de la forma

Sèrie de Fourier trigonomètrica[modifica]

La seva sèrie de Fourier trigonomètrica és

on els coeficients de Fourier i obtinguts directament a partir dels coeficients són

Per tant la sèrie de Fourier resultant és

Quan el període és unitari se simplifica de la forma

Transformada de Fourier[modifica]

La transformada de Fourier d'una pinta de Dirac és una pinta de Dirac[2] (propietat que comparteix amb la funció gaussiana de variància 1). Així doncs, la pinta de Dirac expressada en el domini freqüencial es pot escriure com:

A més, quan el període és unitari la transformada de Fourier de la pinta de Dirac és directament ella mateixa

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. 1,0 1,1 Xavier Gràcia Matemàtiques de la Telecomunicació. Definicions i resultats.
  2. 2,0 2,1 2,2 R.J. Beerends; H.G. ter Morsche; J.C. van den Berg; E.M. van de Vrie. Fourier and Laplace transforms. Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521-53441-3. 
  3. Nicholas Wheeler Simplified production of Dirac delta functions identities.