Polinomi de Jones

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En el camp de la teoria de nusos, s'anomena polinomi de Jones a un invariant per nusos orientats en forma de polinomi de Laurent de coeficients enters en variable [1] descobert per Vaughan Jones en 1984.[2] També és aplicable a enllaços.

Definició a partir del polinomi parèntesi de Kaufmann[modifica]

Primer moviment de Reidemeister

Sigui un enllaç orientat donat a partir del seu diagrama i sigui el seu polinomi parèntesi de Kaufmann. Notem que el polinomi parèntesi és un polinomi de Laurent en la variable amb coeficients enters.

Prenem (el polinomi parèntesi normalitzat), on denota l'entortellament (writhe) de L al seu diagrama donat. (L'entortellament del diagrama és el nombre de creuaments positius ( a la figura) menys el nombre de creuaments negatius (. Cal tenir present que l'entortellament no és un invariant per nusos.)

és un invariant per nusos, perquè és invariant pels canvis en el diagrama de L via moviments de Reidemeister. La invariància pel segon i el tercer moviments ve heretada per la invariància del polinomi parèntesi. Pel que fa al primer moviment, el polinomi parèntesi canvia en un producte per , però la definició donada del polinomi X està feta per anul·lar aquesta variació, ja que l'entortellament canvia degudament per +1 or -1 en aplicar el primer moviment de Reidemeister.

Substituïm ara a per tal d'obtenir el polinomi de Jones . En resulta un polinomi de Laurent de coeficients enters i variable .

Aquesta definició fou introduïda per Louis Kauffman l'any 1987 i suposà una formulació més propera a les eines clàssiques de la teoria de nusos.[3] La definició original de Jones partia de la representació de grups de trenes.

Propietats[modifica]

El polinomi de Jones es caracteritza pel fet que pren valor 1 per qualsevol diagrama del nus trivial. Compleix a més la relació:

on , i són les relacions de Skein, és a dir els tres diagrames orientats idèntics excepte en un encreuament segons el que es mostra a la següent taula:

Skein (HOMFLY).svg

La definició del polinomi de Jones a partir del polinomi de Kaufmann facilita veure que donat un nus el polinomi de Jones de la seva imatge especular ve donada a partir de substituir per a . Per tant, un nus igual a la seva imatge especular ha de tenir polinomi de Jones en forma de palíndrom.

Polinomi de Jones cromàtic[modifica]

Polinomi de Jones de N colors: N tires de L són paral·leles amb la resta al llarg del nus L i colorejades cadascuna en un color.

Sigui N un nombre natural, un polinomi de Jones de N colors, , pot definir-se com el polinomi de Jones per N tires del nus tal com es mostra a la figura de la dreta. Pot associar-se a una representació irreductubible de de dimensió N+1. De la mateixa manera que un polinomi de Jones no cromàtic, pot definir-se a partir de la relació de Skein i és un polinomi de Laurent en una variable t.

Un polinomi de Jones cromàtic de N colors compleix les propietats següents:

  • on són dos espais de representació.
  • és igual al polinomi de Jones de les 2-tires de L amb dues components etiquetades per i . Per tant el polinomi de Jones de N colors és igual al polinomi de Jones original de les N tires de L.
  • El polinomi de Jones original és un cas especial de polinomi de Jones cromàtic amb N = 1: .

Problemes oberts[modifica]

Actualment no se sap si existeix cap altre nus amb el mateix polinomi de Jones que el del nus trivial. No obstant, gràcies a Morwen Thistlethwaite sí que se sap de l'existència d'enllaços no trivials amb el polinomi de Jones de l'enllaç trivial.[4]

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

Bibliografia[modifica]