Polinomis de Txebixov

En matemàtica, els polinomis de Txebixov, anomenats així en honor del matemàtic rus Pafnuti Txebixov, són dues famílies de polinomis ortogonals molt importants en teoria d'aproximació de funcions, ja que s'utilitzen les seves arrels (anomenades nodes de Txebixov) com a nodes d'interpolació.

Com s'ha dit anteriorment, hi ha dues classes de polinomis de Txebixov, els polinomis de primer tipus $\,T_{n}(x)$ i els de segon tipus $\,U_{n}(x)$ que guarden una relació molt estreta entre ells.

Definició

Hi ha dues maneres diferents de definir els polinomis de Txebixov: mitjançant relacions trigonomètriques o utilitzant una determinada recurrència. Primer ho farem trigonomètricament i llavors demostrarem la recurrència (tot i que també es podria fer a l'inrevés).

Primer tipus

A continuació definirem els polinomis de Txebixov de primer tipus. Encara que a primera vista pugui no semblar-ho, realment es tracta d'un conjunt de polinomis, com es veurà més clarament un cop donem la definició recurrent.

Definim la família de polinomis de Txebixov de primer tipus com:

$T_{n}(x)=\cos(n\arccos x),\quad -1\leq x\leq 1,\quad n\geq 0$

O també:

$T_{n}(x)=\cosh(n\cosh ^{-1}x),\quad n\geq 0$

Per simplificar, podem suposar que $\,x=\cos \theta =\cosh \alpha$ . Podem escriure, doncs, la següent relació:

$T_{n}(x)=\cos(n\theta )=\cosh(n\alpha )\,$

Aquesta notació, pel fet de ser més simple, facilita molt els càlculs. A partir d'aquesta definició, podem molt fàcilment trobar una relació de recurrència que ens permetrà obtenir el polinomi n-èsim a partir dels dos anteriors; vegem-ho:

Definim la família de polinomis de Txebixov de primer tipus com:

$\,T_{0}(x)=1$

$\,T_{1}(x)=x$

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x),\quad n\geq 2$

Demostració

Primer calculem els dos primers polinomis de Txebixov:

$\,T_{0}(x)=\cos(0\cdot \theta )=\cos(0)=1$

$\,T_{1}(x)=\cos(1\cdot \theta )=\cos(\arccos x)=x$

I ara anem a trobar la recurrència:

$\,T_{n+1}(x)=\cos[(n+1)\theta ]=\cos(n\theta )\cos \theta -\sin(n\theta )\sin \theta$

Per la definició sabem que $\,\cos(n\theta )=T_{n}(x)$ i que $\,\cos(\theta )=x$ . A més a més, farem servir la relació trigonomètrica:

$\sin(\alpha )\sin(\beta )=-{\frac {1}{2}}(\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ))$

En resum, queda:

$\,T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)+{\frac {\cos(n+1)\theta }{2}}-{\frac {\cos(n-1)\theta }{2}}=xT_{n}(x)+{\frac {T_{n+1}(x)}{2}}-{\frac {T_{n-1}(x)}{2}}$

Si aïllem $\,T_{n+1}(x)$ , arribem a l'expressió que volíem demostrar.

La demostració no és del tot certa, ja que hem suposat que $-1\leq x\leq 1$ . En cas que no es complís aquesta condició, la demostració és pràcticament anàloga, però utilitzant funcions hiperbòliques.

Ara que coneixem la recurrència, podem fàcilment trobar els diferents polinomis de Txebixov. Per exemple, per trobar el valor de $T_{2}(x)$ fem el següent:

$T_{2}(x)=2xT_{1}(x)-T_{0}(x)=2x\cdot x-1=2x^{2}-1$

Més endavant donarem una taula amb els primers polinomis de Txebixov.

Segon tipus

Tal com hem fet abans, començarem donant una definició trigonomètrica dels polinomis de Txebixov de segon tipus, i encara que sigui menys intuïtiva, ens serà útil més endavant:

Definim la família de polinomis de Txebixov de segon tipus com:

$U_{n}(x)={\frac {\sin[(n+1)\arccos x]}{\sin(\arccos x)}}={\frac {\sin[(n+1)\theta ]}{\sin \theta }},\quad n\geq 0$

De la mateixa manera que hem vist, podem trobar una recurrència, que ens facilitarà molt les coses en algunes circumstàncies:

Definim la família de polinomis de Txebixov de segon tipus com:

$\,U_{0}=1$

$\,U_{1}=2x$

$U_{n+1}=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x),\quad n\geq 2$

Demostració

La demostració és totalment anàloga a l'anterior, de manera que no donarem massa detalls. Partim de la definició i mitjançant relacions trigonomètriques:

$U_{n+1}(x)={\frac {\sin[(n+1)\theta +\theta ]}{\sin \theta }}={\frac {\sin[(n+1)\theta ]\cos \theta +\sin \theta \cos[(n+1)\theta ]}{\sin \theta }}$

Separem, utilitzem una altra relació trigonomètrica i la definició de polinomi de Txebixov de segona classe:

$U_{n+1}(x)=xU_{n}(x)+{\frac {1}{2\sin \theta }}(\sin[((n+1)+1)\theta ]+\sin[(1-(n+1))\theta ])=xU_{n}(x)+{\frac {U_{n+1}(x)}{2}}-{\frac {U_{n-1}(x)}{2}}$

Aïllant obtenim el resultat que volíem.

Es veu clarament en la forma recurrent que la relació entre els polinomis de primer i segon tipus és realment estreta, donat que l'única diferència que presenten és en el terme inicial $U_{1}(x)=2x$ , i la fórmula de la recurrència és la mateixa.

Ortogonalitat

Sigui $L_{w}^{2}(I)$ l'espai de les funcions de quadrat integrable sobre l'interval $I\,$ , podem definir un producte escalar entre dues funcions de la següent manera:

$\langle f,g\rangle _{w}=\int _{I}f(x)g(x)w(x)dx$

On $w(x)$ és una funció de ponderació. En aquestes circumstàncies, direm que dues funcions són ortogonals respecte al pes $w(x)$ , si $\langle f,g\rangle _{w}=0$ .

Els polinomis de Txebixov de primera classe són ortogonals en l'interval [−1,1] respecte al pes

$w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

i a més a més es pot demostrar que

$\langle T_{n},T_{m}\rangle _{w}=\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x){\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&\mathrm {si} &n\neq m\\\pi &\mathrm {si} &n=m=0\\\pi /2&\mathrm {si} &n=m\neq 0\end{matrix}}\right.\,\!$