Producte Kronecker

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El producte Kronecker, denotat per ⊗ () és una operació entre dues matrius d'una mida arbitrària que donen com a resultat una matriu en blocs. És un cas especial del producte tensorial. S'ha de distingir entre el producte Kronecker i la multiplicació de matrius. Són dues operacions completament diferents.

Definició[modifica | modifica el codi]

Si A és una matriu de dimensions m per n i B és una matriu de dimensions p per q, aleshores el producte Kronecker AB és la matriu de blocs de dimensions mp per nq:

Això es correspon amb la matriu:

O més explícitament,

Exemples[modifica | modifica el codi]

Propietats[modifica | modifica el codi]

Bilinealitat i associativitat[modifica | modifica el codi]

El producte Kronecker és un cas especial del producte tensorial, i, per tant, és bilineal i associatiu:

si B i C tenen les mateixes dimensions,
si A i B tenen les mateixes dimensions,

on A, B i C són matrius i on k és un escalar.

El producte Kronecker no és commutatiu: Això és, en general, AB i BA són matrius diferents. Tanmateix, AB i BA són permutacions equivalents. Això és, que hi ha unes matrius de permutació P i Q tals que