Programació geomètrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un programa geomètric és un problema d'optimització de la forma

Minimitzar  \ f_0 (x)\ tal que

 F_i (x) \leq 1, \quad i = 1, \dots, m
 H_i (x) = 1, \quad i = 1, \dots, p

on  f_0, \dots, F_m són posinomis i  h_1, \dots, h_p són monomis. Cal subratllar que en parlar de programació geomètrica (al contrari que en altres disciplines), un monomi es defineix com una funció  f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} amb  \mathrm{dg}\ f = \mathbb{R}_{++}^n definit com

 F (x) = c x_1^{a_1}x_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n}

on  c> 0 \ i  a_i \in \mathbb{R}.

Té múltiples aplicacions, com el dimensionament de circuits i l'estimació paramètrica via regressió logística en estadística.

Forma convexa[modifica | modifica el codi]

Els programa geomètrics no són per regla general problemes d'optimització convexa, però poden transformar-se en ells mitjançant un canvi de variables i una transformació de les funcions objectiu i de restricció. Definint  y_i = \log{x_i}, el monomi  f (x) = c x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}\mapsto i^{a^T i+b}, on  b = log{c}. De la mateixa manera, si  f és el posinomi

 f (x) = \sum_{k = 1}^K c_k x_1^{a_{1k}}\cdots x_n^{a_{nk}}

llavors  f (x) = \sum_{k = 1}^K i^{a_k^T i+b_k}, on  a_k = (a_{1k}, \dots, a_{nk}) i  b_k = \log{c_k}. Després del canvi de variables, el posinomi es converteix en una suma d'exponencials de funcions afins.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]