Prova U de Mann-Whitney

El Mann-Whitney $U$ La prova de Mann-Whitney-Wilcoxon (també anomenada prova de suma de rangs de Wilcoxon o prova de Wilcoxon-Mann-Whitney) és una prova estadística no paramètrica de la hipòtesi nul·la que els valors X i Y seleccionats aleatòriament de dues poblacions tenen la mateixa distribució.

Les proves no paramètriques que s'utilitzen en dues mostres dependents són la prova del signe i la prova de Wilcoxon de rang amb signe.

Supòsits i enunciat formal d'hipòtesis

Tot i que Henry Mann i Donald Ransom Whitney van desenvolupar la prova U de Mann-Whitney sota la suposició de respostes contínues amb la hipòtesi alternativa que una distribució és estocàsticament més gran que l'altra, hi ha moltes altres maneres de formular les hipòtesis nul·la i alternativa de manera que la prova U de Mann-Whitney doni una prova vàlida.

Una formulació molt general és suposar que:

1. Totes les observacions d'ambdós grups són independents entre si,
2. Les respostes són com a mínim ordinals (és a dir, com a mínim es pot dir, de dues observacions qualssevol, quina és la més gran),
3. Sota la hipòtesi _nul·la H₂, les distribucions d'ambdues poblacions són idèntiques.
4. La _hipòtesi alternativa H1 és que les distribucions no són idèntiques.

Sota la formulació general, la prova només és coherent quan es produeix el següent sota H1:

La probabilitat que una observació de la població X superi una observació de la població Y és diferent (més gran o més petita) que la probabilitat que una observació de Y superi una observació de X; és a dir, P(X > Y) ≠ P(Y > X) o P(X > Y) + 0.5 · P(X = Y) ≠ 0.5.

Sota suposicions més estrictes que la formulació general anterior, per exemple, si se suposa que les respostes són contínues i l'alternativa es restringeix a un canvi d'ubicació, és a dir, F₁(x) = F₂(x + δ), podem interpretar una prova U de Mann-Whitney significativa com una mostra d'una diferència en les medianes. Sota aquesta suposició de canvi d'ubicació, també podem interpretar la prova U de Mann-Whitney com una avaluació de si l'estimació de Hodges-Lehmann de la diferència en la tendència central entre les dues poblacions difereix de zero. L'estimació de Hodges-Lehmann per a aquest problema de dues mostres és la mediana de totes les possibles diferències entre una observació a la primera mostra i una observació a la segona mostra.

Altrament, si tant les dispersions com les formes de la distribució d'ambdues mostres difereixen, la prova U de Mann-Whitney falla en una prova de medianes. És possible mostrar exemples on les medianes són numèricament iguals mentre que la prova rebutja la hipòtesi nul·la amb un valor p petit.

La prova U de Mann-Whitney / la prova de suma de rangs de Wilcoxon no és el mateix que la prova de rangs amb signe de Wilcoxon, tot i que ambdues no són paramètriques i impliquen la suma de rangs. La prova U de Mann-Whitney s'aplica a mostres independents. La prova de rangs amb signe de Wilcoxon s'aplica a mostres coincidents o dependents.

Estadística U

Siguin $X_{1},\ldots ,X_{n_{1}}$ el grup 1, una mostra iid de $X$, i $Y_{1},\ldots ,Y_{n_{2}}$ sigui el grup 2, una mostra iid de $Y$, i siguin ambdues mostres independents l'una de l'altra. L'estadística U de Mann-Whitney corresponent es defineix com el més petit de:

$U_{1}=n_{1}n_{2}+{\tfrac {n_{1}(n_{1}+1)}{2}}-R_{1},U_{2}=n_{1}n_{2}+{\tfrac {n_{2}(n_{2}+1)}{2}}-R_{2}$

$R_{1},R_{2}$ being the sums of the ranks in groups 1 and 2, after ranking all samples from both groups such that the smallest value obtains rank 1 and the largest rank $n_{1}+n_{2}$.

Càlculs

La prova implica el càlcul d'una estadística, normalment anomenada U, la distribució de la qual sota la hipòtesi nul·la és coneguda:

• En el cas de mostres petites, la distribució es tabula
• Per a mides de mostra superiors a ~20, l'aproximació utilitzant la distribució normal és força bona.

Alternativament, la distribució nul·la es pot aproximar mitjançant proves de permutació i simulacions de Monte Carlo.

Alguns llibres tabulen estadístiques equivalents a U, com ara la suma de rangs en una de les mostres, en lloc de la mateixa U.

La prova U de Mann-Whitney s'inclou a la majoria de paquets estadístics.

També es calcula fàcilment a mà, especialment per a mostres petites.