Recta real estesa

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, la recta real estesa o recta real acabada,[cal citació] s'obté a partir dels nombres reals {\mathbb{R}} amb l'afegit de dos elements: +\infty i  - \infty (infinit positiu i infinit negatiu, respectivament). La recta real estesa projectiva afegeix un sol objecte:  \infty (infinit), i no fa distinció entre infinits «positiu» o «negatiu». Aquests nous elements no són nombres reals.

La recta real estesa es denota per  \overline{\mathbb{R}} o bé  [+\infty, - \infty] , és utilitzada per descriure diversos comportaments al límit a càlcul infinitesimal i anàlisi matemàtica, especialment en la teoria de la mesura i integració.

Quan el significat es dedueix del context, el símbol +\infty s'escriu simplement  \infty .

Definicions[modifica | modifica el codi]

Límits[modifica | modifica el codi]

La necessitat de la seva definició, sorgeix en descriure el comportament d'una funció f(x), quan o bé l'argument x o bé el valor de la funció f(x) es torna «molt gran» en algun sentit.

Per exemple, la funció  f(x) = x^{-2}\ .

La gràfica d'aquesta funció té una asímptota horitzontal en f(x) = 0. Geomètricament, això significa que a mesura que el valor de x creix (cap a la dreta del pla cartesià), més s'aproxima el valor d'1/x2 a 0 (l'eix horitzontal). Aquest comportament al límit és similar al de l'límit d'una funció en un nombre real, excepte que aquí no hi ha nombre real cap al qual x s'aproxima.

Afegint els elements +∞ i -∞ a R, es permet la formulació de "límit a l'infinit" amb propietats topològiques similars a les de R.

Mesura i integració[modifica | modifica el codi]

En teoria de la mesura, se solen admetre conjunts que tenen mesura infinita i integrals el valor de les quals pot ser infinit.

Aquestes mesures sorgeixen naturalment del càlcul. Per exemple, si se li assigna una mesura a R corresponent a la longitud usual dels intervals, aquesta mesura ha de ser més gran que qualsevol nombre real finit. També, si es consideren integrals no fitades, com

 \int_1^{\infty}\frac{dx}{x}

sorgeix el valor "infinit". Finalment, se sol considerar el límit d'una successió de funcions, com

f_n(x) = \begin{cases} 2n(1-nx), & \mbox{if } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 0, & \mbox{if } \frac{1}{n} < x \le 1\end{cases}

Si no es permetessin valors infinits a funcions, resultats tan essencials com el teorema de convergència monòtona i el teorema de convergència dominada no tindrien sentit.[cal citació]

Ordre i propietats topològiques[modifica | modifica el codi]

La recta real estesa es torna un conjunt totalment ordenat definint - ∞ ≤ a ≤+∞ per tot a. Aquest ordre té l'agradable propietat que tot subconjunt té un suprem i un ínfim: forma un reticle complet.

Això indueix un ordre topològic sobre R. En aquesta topologia, un conjunt O és un entorn de +∞ si i només si conté un conjunt {x: x > a} per algun nombre real a, i anàlogament pels entorns de -∞. R és un espai de Hausdorff compacte homeomorf a l'interval unitat [0, 1]. Després aquesta topologia és metritzable, correspon (per a un homeomorfisme donat) a la mètrica usual en aquest interval. No hi ha una mètrica que sigui una extensió de la mètrica usual sobre R.

Amb aquesta topologia, es poden definir especialment els límits per x tendint a +∞ i -∞, i els conceptes especialment definits de límits igual a +∞ i -∞, es redueixen a la definició topològica general de límits.

Propietats aritmètiques[modifica | modifica el codi]

Les propietats aritmètiques de R es poden estendre parcialment a R de la següent manera:


\begin{align}
a + \infty = +\infty + a & = +\infty, & a & \neq -\infty \\
a - \infty = -\infty + a & = -\infty, & a & \neq +\infty \\
a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty] \\
a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \in [-\infty, 0) \\
\frac{a}{\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb{R} \\
\frac{\pm\infty}{a} & = \pm\infty, & a & \in \mathbb{R}^+ \\
\frac{\pm\infty}{a} & = \mp\infty, & a & \in \mathbb{R}^-
\end{align}

Aquí, "a + ∞" significa tant "a + (+∞)" com "a - (- ∞)", i "a - ∞" significa tant "a - (+∞)" com "a + (-∞)".

Les expressions ∞ - ∞, 0 × (± ∞) i ± ∞/± ∞ (anomenades formes indeterminades) normalment són indefinides a l'esquerra. Són regles modelades per les lleis dels límits infinits. Tanmateix, en el context de la probabilitat o teoria de la mesura, 0 × (± ∞) sovint es defineix com a 0.

L'expressió 1/0 no es defineix ni com a +∞ ni com a -∞, perquè encara que és cert que quan f(x) → 0 per a una funció contínua f(x) ha passar que 1/f(x) està eventualment continguda en tot entorn del conjunt {-∞, +∞}, no és cert que 1/f(x) han de tendir a un d'aquests punts. Un exemple és f(x) = 1/(sin(1/x)), el seu valor absolut és 1/|f(x)|, però, no s'aproxima a +∞.

Propietats algebraiques[modifica | modifica el codi]

Amb les definicions donades a dalt, R no és un cos ni un anell, però té les següents propietats:

  • a +( b + c ) i ( a + b )+ c són o bé iguals o bé indefinits.
  • a + b i b + a són o bé iguals o bé indefinits.
  • a × ( b × c ) i ( a × b ) × c són o bé iguals o bé indefinits.
  • a × b i b × a són o bé iguals o bé indefinits.
  • a × ( b + c ) i ( a × b )+( a × c ) són o bé iguals o bé indefinits.
  • Si ab i tant a + c com b + c estan definits, llavors a + cb + c .
  • Si ab i c > 0 i tant a × c com b × c estan definits, llavors a × cb × c .

En general, totes les lleis de l'aritmètica seran vàlides en R sempre que les expressions que intervenen estiguin definides.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]