Recta real estesa

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, una recta real estesa s'obté a partir dels nombres reals amb l'afegit de dos elements: i (infinit positiu i infinit negatiu, respectivament). Es denota per o bé i és utilitzada per descriure diversos comportaments al límit a càlcul infinitesimal i anàlisi matemàtica, especialment en la teoria de la mesura i integració. Quan el significat es dedueix del context, el símbol s'escriu simplement . La recta real estesa projectiva afegeix un sol objecte: (infinit), i no fa distinció entre infinits «positiu» o «negatiu». Aquests nous elements no són nombres reals.

Definicions[modifica | modifica el codi]

Límits[modifica | modifica el codi]

La necessitat de la seva definició, sorgeix en descriure el comportament d'una funció f(x), quan o bé l'argument x o bé el valor de la funció f(x) es torna «molt gran» en algun sentit.

Per exemple, la funció .

La gràfica d'aquesta funció té una asímptota horitzontal en f(x) = 0. Geomètricament, això significa que a mesura que el valor de x creix (cap a la dreta del pla cartesià), més s'aproxima el valor d'1/x2 a 0 (l'eix horitzontal). Aquest comportament al límit és similar al del límit d'una funció en un nombre real, excepte que aquí no hi ha nombre real cap al qual x s'aproxima.

Afegint els elements +∞ i -∞ a R, es permet la formulació de "límit a l'infinit" amb propietats topològiques similars a les de R.

Mesura i integració[modifica | modifica el codi]

En teoria de la mesura, se solen admetre conjunts que tenen mesura infinita i integrals el valor de les quals pot ser infinit.

Aquestes mesures sorgeixen naturalment del càlcul. Per exemple, si se li assigna una mesura a R corresponent a la longitud usual dels intervals, aquesta mesura ha de ser més gran que qualsevol nombre real finit. També, si es consideren integrals no fitades, com

sorgeix el valor "infinit". Finalment, se sol considerar el límit d'una successió de funcions, com

Si no es permetessin valors infinits a funcions, resultats tan essencials com el teorema de convergència monòtona i el teorema de convergència dominada no tindrien sentit.[cal citació]

Ordre i propietats topològiques[modifica | modifica el codi]

La recta real estesa es torna un conjunt totalment ordenat definint - ∞ ≤ a ≤+∞ per tot a. Aquest ordre té l'agradable propietat que tot subconjunt té un suprem i un ínfim: forma un reticle complet.

Això indueix un ordre topològic sobre R. En aquesta topologia, un conjunt O és un entorn de +∞ si i només si conté un conjunt {x: x > a} per algun nombre real a, i anàlogament pels entorns de -∞. R és un espai de Hausdorff compacte homeomorf a l'interval unitat [0, 1]. Després aquesta topologia és metritzable, correspon (per a un homeomorfisme donat) a la mètrica usual en aquest interval. No hi ha una mètrica que sigui una extensió de la mètrica usual sobre R.

Amb aquesta topologia, es poden definir especialment els límits per x tendint a +∞ i -∞, i els conceptes especialment definits de límits igual a +∞ i -∞, es redueixen a la definició topològica general de límits.

Propietats aritmètiques[modifica | modifica el codi]

Les propietats aritmètiques de R es poden estendre parcialment a R de la següent manera:

Aquí, "a + ∞" significa tant "a + (+∞)" com "a - (- ∞)", i "a - ∞" significa tant "a - (+∞)" com "a + (-∞)".

Les expressions ∞ - ∞, 0 × (± ∞) i ± ∞/± ∞ (anomenades formes indeterminades) normalment són indefinides a l'esquerra. Són regles modelades per les lleis dels límits infinits. Tanmateix, en el context de la probabilitat o teoria de la mesura, 0 × (± ∞) sovint es defineix com a 0.

L'expressió 1/0 no es defineix ni com a +∞ ni com a -∞, perquè encara que és cert que quan f(x) → 0 per a una funció contínua f(x) ha passar que 1/f(x) està eventualment continguda en tot entorn del conjunt {-∞, +∞}, no és cert que 1/f(x) han de tendir a un d'aquests punts. Un exemple és f(x) = 1/(sin(1/x)), el seu valor absolut és 1/|f(x)|, però, no s'aproxima a +∞.

Propietats algebraiques[modifica | modifica el codi]

Amb les definicions donades a dalt, R no és un cos ni un anell, però té les següents propietats:

  • a +( b + c ) i ( a + b )+ c són o bé iguals o bé indefinits.
  • a + b i b + a són o bé iguals o bé indefinits.
  • a × ( b × c ) i ( a × b ) × c són o bé iguals o bé indefinits.
  • a × b i b × a són o bé iguals o bé indefinits.
  • a × ( b + c ) i ( a × b )+( a × c ) són o bé iguals o bé indefinits.
  • Si ab i tant a + c com b + c estan definits, llavors a + cb + c .
  • Si ab i c > 0 i tant a × c com b × c estan definits, llavors a × cb × c .

En general, totes les lleis de l'aritmètica seran vàlides en R sempre que les expressions que intervenen estiguin definides.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]