Reducció d'ordre

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per a altres significats vegeu «Reducció (desambiguació)».

En matemàtiques, la reducció d'ordre és una tècnica utilitzada per resoldre equacions diferencials ordinàries de segon ordre. Es fa servir quan la primera de dues solucions (y_1) és coneguda i es busca la segona (y_2).

Ús[modifica | modifica el codi]

Donada una equació diferencial

y''+p(t)y'+q(t)y=0\,

i una sola solució (y_1(t)), i sigui la segona solució definida per

y_2=v(t)y_1(t)\,

on v(t) és una funció arbitrària. Així,

y_2'=v'(t)y_1(t)+v(t)y_1'(t)\,

i

y_2''=v''(t)y_1(t)+2v'(t)y_1'(t)+v(t)y_1''(t).\,

Si se substitueixen per y, y', i y'' a l'equació diferencial, llavors

y_1(t)\,v''+(2y_1'(t)+p(t)y_1(t))\,v'+(y_1''(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t))\,v=0.

Com que y_1(t) és solució de l'equació diferencial original, y_1''(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t)=0, es pot reduir a

y_1(t)\,v''+(2y_1'(t)+p(t)y_1(t))\,v'=0

que és una equació diferencial de primer ordre per v'(t). Dividint per y_1(t), s'obté

v''+\left(\frac{2y_1'(t)}{y_1(t)}+p(t)\right)\,v'=0

i v'(t) es pot trobar fent servir el mètode general. Un cop s'ha trobat v'(t), s'integra i se substitueix a l'equació original per y_2:

y_2=v(t)y_1(t).\,

Referències[modifica | modifica el codi]