Relació d'ordre

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

Sigui un conjunt qualsevol. Una relació en és un criteri que ens permet dir si dos elements qualsevol de , satisfan la relació o no. Una relació és relació d'ordre si compleix les propietats reflexiva, antisimètrica i transitiva.

La relació d'ordre a un conjunt fa que aquest sigui un conjunt ordenat, de vegades dit parcialment ordenat, per remarcar que no compleix la relació de totalitat.

Els conjunts parcialment ordenats per una relació binària que a més és total, es diuen conjunts totalment ordenats.

Definicions[modifica]

Definició de relació d'ordre[modifica]

Una relació d'ordre en un conjunt és una relació que, compleix les següents propietats:

  • Propietat reflexiva: .
  • Propietat antisimètrica: .
  • Propietat transitiva:.

Definició de relació d'ordre total[modifica]

Una relació d'ordre total en un conjunt és una relació que és d'ordre i que compleix la propietat de totalitat d'una relació binària:

  • Propietat de totalitat: .

Exemples[modifica]

  • La relació de divisibilitat | en el conjunt dels nombres naturals és una relació d'ordre: n|m si la divisió de n entre m té residu 0. Clarament és reflexiva, antisimètrica i transitiva.
  • La relació d'igualtat entre els elements d'un conjunt també és una relació d'ordre (no total si el conjunt té almenys dos elements).
  • La relació a≤b és una relació d'ordre total pels conjunts dels naturals ℕ, enters ℤ, racionals, ℚ, i reals ℝ. També és d'ordre total la relació ≤, com es pot comprovar fàcilment.

Elements notables dels conjunts ordenats[modifica]

Als conjunts ordenats es poden definir una sèrie d'elements amb propietats particulars. L'element mínim és un exemple: a serà element mínim de si es verifica que .

L'element màxim es defineix igualment: a serà element màxim de si es verifica que .

Història[modifica]

Els conjunts ordenats apareixen a moltes branques de les matemàtiques. Tot i així, no es troben referències explícites fins al segle xix. George Boole fou el més important, juntament amb Charles Sanders Peirce, Richard Dedekind, i Ernst Schröder, que desenvoluparen diferents aspectes teòrics.

Vegeu també[modifica]