Relació de congruència
En matemàtiques i en particular en àlgebra abstracta, una relació de congruència o simplement una congruència és una relació d'equivalència que és compatible amb algunes operacions algebraiques.
Aritmètica modular
[modifica]L'exemple típic de congruència és la congruència sobre els enters que es fa servir en aritmètica modular.
En aquest context congruència és el terme que es fa servir per a designar que dos nombres enters i tenen el mateix residu en ser dividits per un nombre natural , anomenat el mòdul; aquest s'expressa utilitzant la notació: que s'expressa dient que és congruent amb mòdul . Una altra definició equivalent és que el mòdul divideix exactament a la diferència .
Per exemple, perquè obtenim el mateix residu (2) si dividim 12 entre 5 i 17 entre 5.
El terme congruència s'utilitza a més amb dos sentits lleugerament diferents: per una banda amb el sentit d'identitat matemàtica; com a exemple d'aquest ús tenim el petit teorema de Fermat que assegura que per a cada primer i cada enter no divisible per tenim la congruència:
- .
Per altra banda s'utilitza en el sentit d'equació, on apareixen una o més incògnites, i ens preguntem si una congruència té solució i en cas afirmatiu, quines són totes les seves solucions, per exemple la congruència , té solució, i totes les seves solucions venen donades per i , és a dir x pot ser qualsevol enter de les successions 11k+4 i 11k+7. Contràriament, la congruència , no té solució.
La notació i la terminologia van ser introduïdes per Carl Friedrich Gauss en el seu llibre Disquisitiones Arithmeticae el 1801. La seva utilització s'ha estès a molts altres entorns en els que podem parlar de divisibilitat, per exemple a polinomis amb coeficients en un cos, a ideals d'anells de nombres algebraics, etc.
Relació d'equivalència
[modifica]- La congruència per a un mòdul fix m és una relació d'equivalència, ja que es verifiquen les propietats:
- 1) reflexiva: .
- 2) simètrica: si llavors també .
- 3) transitiva: si i llavors també .
Compatibilitat amb les operacions d'addició i multiplicació dels enters
[modifica]- Si i k és un enter llavors també es compleix
- i :
- Si a més k és coprimer amb m, llavors podem trobar un enter , tal que
i llavors té perfecte sentit parlar de la divisió i també és cert que
on per definició posem .
- Com a conseqüència de l'anterior, si tenim dos congruències amb igual mòdul:
- i
podem sumar-les, restar-les o multiplicar-les de manera que també es verifiquen les congruències
- i
Aquestes propietats permeten definir l'aritmètica modular.
Àlgebra lineal
[modifica]Dues matrius reals A i B es diu que són congruents si existeix una matriu invertible real P tal que
Al definir la relació de congruència d'aquesta manera resulta que dues matrius són congruents si i només si representen la mateixa forma bilineal respecte de diferents bases. Aquesta relació és una relació d'equivalència.
Àlgebra universal
[modifica]En àlgebra universal la idea es generalitza: Una relació de congruència sobre una àlgebra A és un subconjunt del producte directe A × A que és al mateix temps una relació d'equivalència en A i una subàlgebra de A × A.