Sòlid Platonic

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

A l'espai tridimensional, un sòlid Platònic és un poliedre regular i convex. Es construeix per cares regular congruents amb el mateix nombre de cares que es troben en cada vertex. Cinc sòlids compleix en aquest criteri, i cada un porta el no del seu nombre de cares.

Els sòlids platònics són coneguts des de l’antiguitat. Bola de pedra tallada creada pel poble neolític d’Escòcia es troben a prop dels models adornats assemblar-se a ells, però no semblen haver estat preferit per sobre d’objectes menys simètrics i alguns dels sòlids platònics poden fins i tot estar absent. Donats tornar al començament de la civilitcació amb formes que són anteriors a la cartografia oficial dels sòlids platònics. 

Els antics grecs van estudiar els sòlids platònics àmpliament . Algunes fonts (com Procle) Pitàgores de crèdit amb el seu descobriment. Una altra evidència suggereix que pot haver estat només familiaritzat amb el tetraedre, cub i el dodecaedre i que el descobriment de l'octàedre i l'icosàedre pertanyen a Theaetetus, un contemporani de Plató. En qualsevol cas, Theaetetus va donar una descripció matemàtica dels cinc i pot haver estat responsable de la primera prova coneguda que no hi ha altres políedres regulars convexos. 

Els sòlids platònics són prominents en la filosofia de Plato , el seu homònim. Plato va escriure sobre ells en el diàleg Timaeus c.360 aC en la qual s'associa cada un dels quatre elements clàssics (terra, aire, aigua i foc) amb un sòlid regular. La Terra es va associar amb el cub, l’aire amb l’octaedra, l’aigua amb l’icosàedre i el foc amb el tetraedra. No hi havia justificació intuïtiva per a aquestes associacions: la calor del foc se sent agut i punxant (com a mínim tetraedres). L’aire esta compost de l’octàedra; els seus components minuscúls són tan suaus que un en prou feines pot sentir-ho. L'aigua, el icosàedre, flueix d'un costat de recollir-lo, com si es fa de boletes diminutes. Per contra, un sòlid altament no esferic, com el hexaedre (cub) representa la "terra". Aquests petits sòlids maldestres fan que la brutícia a enfonsar i trencar en recollir en marcat diferència en la fluïdesa de l'aigua. D’altra banda, el cub de ser l’únic solid regular teselar l’espai Euclidean es creu que causa la solidessa de la Terra. Del cinquè sòlid platònic, el dodecaedra, Plato observacions obscurament ,"... el Déu va usar [que] per disposar de les constel·lacions en tot el cel". Aristòtil va afegir un cinquè element, aither (aheter en llatí, "ether” en Angles) i postulat que el cel es van fer d'aquest element, però no tenia cap interès en joc amb la de Plató la sòlida cinquena.  

Euclides descriu matemàticament per complet els sòlids platònics en els Elements , l'últim llibre (llibre XIII), del qual es dedica a les seves propietats. Proposicions 13-17 en el Llibre XIII descriuen la construcció del tetraedre, octaedre , cub, icosaedre i dodecaedre en aquest ordre. Per a cada Euclides sòlid es troba la relació entre el diàmetre de l'esfera circumscrita a la longitud de la vora. A la Proposta 18 , argumenta que no hi ha més políedres regulars convexos. Andreas Speiser ha defensat la idea que la construcció dels 5 sòlids regulars és el principal objectiu del sistema deductiu canonitzat en els Elements. Molta de la informació en el llibre XIII es deriva probablement de l'obra de Theaetetus.



Al segle 16, l'astrònom alemany Johannes Kepler va intentar relacionar els cinc planetes extraterrestres coneguts en aquell moment per als cinc sòlids platònics. En Mysterium Cosmographicum , publicat en 1596, Kepler va proposar un model del sistema solar en el qual els cinc sòlids es fixen un dins de l'altre i separats per una sèrie d'esferes inscrits i circumscrits. Kepler va proposar que les relacions de distància entre els sis planetes coneguts en aquell moment podrien ser enteses en termes dels cinc sòlids platònics tancats dins d'una esfera que representa l'òrbita de Saturn. Les sis esferes corresponien a cada un dels planetes (Mercuri, Venus, Terra, Mart, Júpiter i Saturn). Els sòlids van ser ordenats amb ser el més interior de l'octàedre , seguit pel icosàedre , dodecàedre , tetraedre, i, finalment, el cub, dictant així l'estructura del sistema solar i les relacions de distància entre els planetes pels sòlids platònics. Al final, la idea original de Kepler va haver de ser abandonada, però fora de la seva investigació va arribar a les seves tres lleis de la dinàmica orbital, el primer dels quals era que les òrbites dels planetes són el·lipses en comptes de cercles, canviant el curs de la física i l'astronomia. També va descobrir que els sòlids de Kepler. 

Al segle 20 , els intents de vincular sòlids platònics amb el món físic es van ampliar amb el model de capa d'electrons en la química de Robert Lluna en una teoria coneguda com el "model de la lluna". 

Coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Per als sòlids platònics amb centre en l'origen , simples coordenades cartesianes es donen a continuació. La lletra grega φ s'utilitza per representar la relació d'or\ {1+\sqrt{5}}{2}.

Cartesian Coordenades
Figura Tetràedre Octàedre Cub Icosàedre Dodecàedre
Vertices 4 6 (2×3) 8 12 (4×3) 20 (8+4×3)
Orientationset


1 2 1 2 1 2
Coordenades (1,1,1)(1,−1,−1)(−1,1,−1)(−1,−1,1)






(−1,−1,−1)(−1,1,1)(1,−1,1)(1,1,−1)






 (±1, 0, 0)(0, ±1, 0)(0, 0, ±1)






(±1, ±1, ±1)  (0, ±1, ±φ)(±1, ±φ, 0)(±φ, 0, ±1)






 (0, ±φ, ±1)(±φ, ±1, 0)(±1, 0, ±φ)






(±1, ±1, ±1)(0, ±1/φ, ±φ)(±1/φ, ±φ, 0)(±φ, 0, ±1/φ)






(±1, ±1, ±1)(0, ±φ, ±1/φ)(±φ, ±1/φ, 0)(±1/φ, 0, ±φ)






Imatge CubeAndStel.svg Dual Cube-Octahedron.svg Icosahedron-golden-rectangles.svg Cube in dodecahedron.png

Les coordenades per al tetraedre, l'icosàedre i el dodecàedre es donen en dos conjunts d'orientació , contenint cada un la meitat del senyal i la posició permutació de les coordenades. 

Aquestes coordenades revelen certes relacions entre els sòlids platònics: els vèrtexs del tetraedre representen la meitat de les del cub , com {4,3} o node.png c de node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel , un dos conjunts de 4 vèrtexs en les posicions duals, com h {4,3} o node c de h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Les dues posicions tetraèdriques fan que el compost del octàedre estrellat. 

Les coordenades de l'icosàedre estan relacionats amb dues sèries alternades de coordenades d'un octaedre truncat no uniforme , t {3,4} o c de node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png, també anomenat un octàedre xata, com s {3,4} o node c de node h.pngCDel 3.pngCDel h.pngCDel 4.pngCDel node.png , i vist en el compost de dues icosàedre. 

Vuit dels vèrtexs del dodecaedre es comparteixen amb els cubs. Completar totes les orientacions que condueix al compost de cinc cubs. 

See also[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]