Seqüències de Beatty

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques una seqüència de Beatty, , és una seqüència d'enters generada per la part entera dels múltiples d'un nombre irracional. És a dir: la seqüència generada pel nombre irracional seria:

,

on el símbol significa que només es considera la part entera del producte.

Reben el seu nom pel matemàtic canadenc Samuel Beatty qui el 1926 va demostrar que si i són dos irracionals positius tals que , aleshores i son una partició de .[1]

Exemples[modifica]

Per a tindríem i i les seqüències que es generen al multiplicar aquests dos nombres pels naturals i arrodonint els decimals a la baixa són:

  • Per :
  • Per :

De tal forma que tot nombre natural pertany necessàriament a una de les dues seqüències però no a les dues.

Es poden trobar més exemples, fetes amb altres nombres irracionals, al OEIS.

Història[modifica]

Aquesta propietat ja havia estat observada el 1877 pel físic anglès lord Rayleigh en estudiar els harmònics d'una corda vibratòria.[2] Per això a aquest teorema se'l coneix indistintament com teorema de Rayleigh o teorema de Beatty.[3] El problema va ressorgir el 1959 en el marc de la competició Putnam de matemàtiques.

Referències[modifica]

Bibliografia[modifica]

Enllaços externs[modifica]

  • Weisstein, Eric W. «Beatty Sequence». MathWorld--A Wolfram Web Resource, 2020. [Consulta: 25 març 2020]. (anglès)
  • «Beatty Sequences». OEIS. [Consulta: 25 març 2020]. (anglès)