Singularitat matemàtica

En matemàtiques, una singularitat matemàtica és, en general, un punt en què un objecte matemàtic donat resta indefinit, o bé un punt d'un conjunt excepcional on aquest falla en el seu comportament normal en algun sentit, com ara una derivada.

Dins de l'àmplia varietat de funcions matemàtiques existents es troben algunes que presenten comportaments estranys i inesperats quan se'ls assignen determinats valors a la/les variable/s independent/s. Aquest comportament es descriu amb el nom de singularitat de la funció.

Concepte intuïtiu de la continuïtat

Intuïtivament, s'associa la idea de continuïtat d'una funció al fet de no aixecar el llapis quan es representa la funció. Les discontinuïtats generalment es classifiquen en diversos tipus, i són les anomenades de salt un dels tipus més freqüents. Dins d'aquest tipus, existeixen les discontinuïtats de salt puntuals, en què la funció es desvia un únic punt del camí més raonable, les discontinuïtats de salt finit, en les quals la funció salta un valor i prossegueix de manera contínua a partir d'aquí; i finalment les discontinuïtats de salt infinit, en què la funció assoleix un valor infinit. Aquestes últimes són les que reben el nom de singularitats.

Criteri d'anàlisi de continuïtat en funcions d'una variable:

Una funció $f\,$ és contínua en $x=c\,$ si i només si:

1. $f(c)\,$ està definit.
2. Existix el límit de $f(x)\,$ quan $x\,$ tendeix a $c\,$.
3. El límit de $f(x)\,$ quan $x\,$ tendeix a $c\,$ coincideix amb $f(c)\,$.

Funcions singulars

Hi ha una gran varietat de funcions elementals que contenen singularitats en els seus dominis. Una de les més comunes sol ser la hipèrbola elemental $y(x)={\frac {1}{x}}\,$. Aquesta funció té una singularitat en el punt $x=0\,$; en aquest punt, la funció presenta un comportament que tendeix a l'infinit. Aquesta funció posa de manifest la característica que tota funció racional en què denominador s'anul·li presentarà una singularitat en el punt en què això succeeixi. Així doncs, la funció: $y(x)=(2x-8)/(4x-12)\,$ presentarà una singularitat en el punt. Altres funcions que contenen singularitats són: $y(x)=\log x\,$ o $y(x)=\tan x\,$.

Anàlisi de les singularitats

Normalment, les singularitats no poden estudiar-se emprant tècniques aritmètiques elementals, ja que solen implicar operacions que són impossibles de realitzar (per exemple, dividir per zero). En lloc d'això, el mètode preferit per a analitzar el comportament de les funcions en les seves singularitats és el pas al límit. Estudiant el límit d'una funció en el seu punt singular es pot obtenir informació valuosa del seu comportament en aquest punt. Com a exemple, cal comentar que ningú pot calcular que $y(x)=1/x$ pren en el punt $x=0$ el valor infinit; però, estudiant el valor que pren el seu límit en aquest punt i analitzant la tendència de la funció a la rodalia és possible assegurar-ho.

Singularitats en variable complexa

Sigui $z_{0}\in \mathbb {C}$, i una funció $f:\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$, es diu que $f(z)$ és singular en $z_{0}$ si no és analítica.

A més, si $z_{0}$ és una singularitat de $f(z)$, diem que és una singularitat no aïllada si $\forall r>0,\ \ \exists \ z_{1}\in \triangle _{0}(z_{0},r)/f(z)$ és singular a $z_{1}$. És a dir, a una distància arbitrària, continuo trobant una altra singularitat. $z_{0}$ és una singularitat aïllada si $z_{0}$ és una singularitat i no és no aïllada. Dins de les singularitats aïllades, les podem classificar en:

• Evitables: pot definir un valor tal que $f(z)$ sigui analítica a $z_{0}$.
• Polars: $f(z)$ tendeix a $\infty$ en acostar-se a $z_{0}$.
• Essencials: el límit no és independent del camí, i encara més, la funció pren valors per a tot el pla complex (excepte un) en un entorn de $z_{0}$ i ho fa infinites vegades.

És possible estudiar el tipus de singularitat no aïllada, mitjançant el desenvolupament de Laurent a la corona centrada en $z_{0}$. Si la sèrie principal (la de potències negatives) té termes finits, es tracta d'una singularitat polar; en cas contrari, és essencial. Lògicament, es desprèn que si el desenvolupament de Laurent es redueix a una sèrie de Taylor, la singularitat hi és evitable.

Interpretació física de les singularitats

L'estudi de les singularitats des del punt de vista matemàtic es limita específicament a resoldre el problema de la funció que no està definida en el punt d'estudi. Teories com ara l'electromagnetisme clàssic de Maxwell contenen singularitats en les seves equacions bàsiques. En la teoria de Maxwell, una de les singularitats més conegudes és la que prediu un camp elèctric infinit en el lloc on es troba col·locada una càrrega puntual.

Una de les singularitats més famoses de la física és la que es troba en la solució de Schwarzschild de les equacions de camp de la relativitat general, singularitat en el continu espaitemps que prediu l'existència de forats negres.

Actualment, un dels camps de discussió oberts més apassionants de la física és aquell que pretén estudiar si hi va haver o no singularitat en el principi de l'univers i si n'hi haurà al final.