Suma directa

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra, el terme suma directa s'aplica a diverses situacions diferents.

Suma directa de subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

Suma directa de dos subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

Siguin i dos subespais vectorials de l'espai vectorial E. Es diu que i són en suma directa si i només si per a tot element u de , existeix una única parella de tal que .

Es diu també en aquest cas que la suma és directa.

En altres paraules, la suma de dos subespais vectorials i és directa si la descomposició de tot element de en suma d'un element de i d'un element de és única.

La suma llavors es nota: .

Es disposa de les caracteritzacions usuals següents:

  • i són en suma directa si i només si, per a tot de i de
  • i són en suma directa si i només si

Cas de la dimensió finita: quan i són de dimensions finites, les assercions següents són equivalents:

  1. La suma és directa.
  2. .
  3. Juxtaposant ("reunint") una base de i una base de , es constitueix una base de .

Subespais suplementaris: dos subespais i de E s'anomenen suplementaris quan . Això significa que per a tot element u de E, existeix una única parella de tal que .

Suma directa de diversos subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

Es pot generalitzar la noció de suma directa a una família finita de subespais vectorials de E.

Es diu que una família de subespais vectorials de E és en suma directa si i només si, per a tot element u de la suma , existeix una k-tupla única de tal que .

Es diu també en aquest cas que la suma F dels subespais és directa.

En altres paraules, la suma és directa si la descomposició de tot element de en suma d'elements dels és única.

Per designar una suma directa, es fan servir les notacions o .

Com en el cas de 2 subespais vectorials, es poden caracteritzar les sumes directes per la unicitat de la descomposició del vector nul:

La suma és directa si i només si:
L'única k -tupla de tal que és aquella tots els elements de la qual són nuls.

Nota: així que la família comprèn almenys 3 subespais, no n'hi ha prou perquè la suma sigui directa que les seves interseccions dos a dos estiguin reduïdes a , és a dir que:

per a tot i i pe a tot j, i diferent de j.

Es veu observant a els subespais vectorials:

.

Les seves interseccions dos a dos queden reduïdes a {(0; 0)}, però la seva suma (igual a ) no és directa.

En efecte, els 3 vectors pertanyen respectivament a ; són no nuls, i tals que : la descomposició del vector nul no és única.

Per altra banda, es demostra que els subespais de la família són en suma directa en si i només si:

Quan els subespais vectorials són de dimensions finites, es té també l'equivalència de les assercions següents:

  1. Els són en suma directa.
  2. .
  3. Juxtaposant una base de ... una base de , es constitueix una base de la suma.

Exemple: siguin E un espai vectorial sobre K de dimensió finita, i f un endomorfisme de E que té exactament p valors propis (diferents) anomenats . Es designa per l'endomorfisme identitat de E.

Per a tot enter i tal que 1 ≤ i ≤ p, és el subespai propi de f associat al valor propi .
Les dues propietats següents són clàssiques:

  • La suma és directa.
  • si i només si f és diagonalitzable.
Quan és el cas, es constitueix una base de E diagonalitzant f juxtaposant una base de , ..., una base de .

Suma directa ortogonal[modifica | modifica el codi]

Es designa aquí per E un espai préhilbertià real o complex (espai vectorial real o complex proveït d'un producte escalar). Sigui una família de subespais vectorials de E. Si són dos a dos d'ortogonals, la seva suma és directa. Llavors s'anomena suma directa ortogonal.

Un exemple molt senzill és l'espai constituït pels vectors ortogonals a tots els vectors d'un subespai vectorial F: és en suma directa amb F. La igualtat no sempre es verifica quan la dimensió és infinita. En canvi, sí que es verifica així que és de dimensió finita.

Dos espais que són a la vegada suplementaris i ortogonals s'anomenen suplementaris ortogonals. Un subespai vectorial F de E, fins i tot si té suplementaris, no en té necessàriament un que li sigui ortogonal. Una condició suficient és que l'espai F sigui complet (cosa que es verifica en el cas particular si és de dimensió finita). Aquesta qüestió està vinculada a la possibilitat d'efectuar una projecció ortogonal.

Quan els subespais vectorials són de dimensions finites, es té l'equivalència de les assercions següents:

  1. Els són en suma directa ortogonal.
  2. Juxtaposant una base ortogonal de , ..., una base ortogonal de , es constitueix una base ortogonal de la suma.

Suma directa externa i producte cartesià[modifica | modifica el codi]

Quan dos subespais , d'un espai vectorial E són en suma directa, l'aplicació següent és bijectiva:

Existeix en aquest cas una única estructura d'espai vectorial sobre el producte cartesià tal que aquesta aplicació és un isomorfisme d'espais vectorials; la llei interna i la llei externa es defineixen respectivament per les relacions:

et ,
on , són en , , són en , i és en .

Això porta, si i són dos espais vectorials qualssevol sobre el mateix cos , a definir la seva suma directa, anomenada llavors externa.

Suma directa externa de dos K -espais vectorials[modifica | modifica el codi]

La suma directa externa de dos -espais vectorials i és el producte cartesià sobre el qual es defineix

  • una addició:
  • una multiplicació externa pels elements de :
(où )

Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt és un espai vectorial sobre .

A partir d'aquí, i són dos subespais de , respectivament isomorfs a i (s'ha "submergit" , al producte cartesià);

la relació justifica la denominació de suma a directa externa.

Quan i són de dimensions finites, ho és també la seva suma directa externa, i:

(ja que és suma directa dels dos subespais i , que tenen igual dimensió que , respectivament).

Suma directa externa diversos K -espais vectorials[modifica | modifica el codi]

Es defineix també la suma directa externa de k espais vectorials sobre el mateix cos .

Quan són de dimensions finites, ho és també la seva suma directa externa, i:

.

Suma directa externa d'una família infinita de K -espais vectorials[modifica | modifica el codi]

Per a un nombre finit d'espais vectorials la suma directa externa i el producte directe coincidixen. No és el cas quan la família és infinita.

En efecte, sigui una família (eventualment infinita) de K -espais vectorials. La suma directa externa és el subespai vectorial del producte directe constituït les famílies amb suport finit. La propietat universal de més avall és la raó d'aquesta tria.

Es pot, amb aquesta noció, definir de forma elegant la suma directa d'una família infinita de subespais: Una família de subespais de E és en suma directa si i només si el morfisme suma que va de la suma directa externa d'aquests subespais a E que a una família de vectors associa la seva suma és injectiu.

Observació a propòsit d'altres estructures algebraiques[modifica | modifica el codi]

Es defineix de manera anàloga la suma directa externa d'un nombre finit de grups additius, o d'anells, o de A-mòduls sobre el mateix anell A.

Per exemple, si i són dos anells, es defineixen sobre dues lleis de composició interna:

  • una addició:
  • una multiplicació:

Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt és un anell. Fins i tot si i són íntegres, el seu producte cartesià no ho és: , sent dos elements no nuls de , respectivament, es té: .

Propietat universal de la suma directa[modifica | modifica el codi]

Sigui un anell; sigui una família d'A-mòduls, un A-mòdul; sigui una família d'aplicacions lineals.

Llavors existeix una única aplicació A-lineal tal que: , amb l'aplicació injectiva canònica.


Vegeu també[modifica | modifica el codi]