Sumatori d'Euler

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El sumatori d'Euler és un mètode de sumabilitat per a sèries convergents i divergents. Donada una sèrie Σan, si la seva Transformació d'euler convergeix a una suma, llavors aquella suma s'anomena el sumatori d'Euler de la sèrie original.

El sumatori d'Euler es pot generalitzar a una família de mètodes denotats (E, q ), on q ≥ 0. La (E, 0) suma és el sumatori habitual (convergent), mentre (E, 1) és el sumatori d'Euler corrent. Tots aquests mètodes són estrictament més dèbils que el sumatori de Borel; per q > 0 són incomparables amb el sumatori d'Abel.

Definició[modifica | modifica el codi]

El sumatori d'Euler es fa servir especialment per accelerar la convergència de sèrie alternades i permet avaluar sumes divergents.

Per justificar l'enfocament observeu que per a la suma intercanviada, l'sumatori d'Euler es redueixi a la sèrie inicial, perquè

Aquest mètode mateix no pot ser millorat per l'aplicació iterateda, ja que

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • eS TÉ , si és un polinomi de grau k. Observeu que en aquest cas el sumatori d'Euler redueix una sèrie infinita a una suma finita.
  • L'elecció particular proporciona una representació explícita dels Nombres de Bernoulli, des de . En efecte, aplicant el sumatori d'Euler als resultats de funció de zeta , que és polinòmica per a un enter positiu; cfr. Funció zeta de Riemann.


  • . Amb una elecció apropiada de aquesta sèrie convergeix a .

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Korevaar, Jacob. Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer, 2004. ISBN 3-540-21058-X. 
  • Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP, 1994. ISBN 0-19-853585-6.