En aquest article, p designa un nombre primera senar, Fp el Cos finit isomorf a Z/pZ, Fp* el seu grup multiplicatiu (és a dir el mateix conjunt excepte 0, amb l'estructura de grup donada per la multiplicació) i ω designa una arrel primitiva p-èsima de la unitat, el caràcter ψm designa el que, a 1F associa ωm.
Sigui ψ un caràcter del grup additiu (Fp, +) i χ un caràcter del grup multiplicatiu (Fp*,.), llavors el sumatori de Gauss associat a χ i ψ és el nombre complex, aquí notat G(χ, ψ) definit per:
Per motius de simplicitat, χ i ψ també es consideren com a funcions definides sobre Z l'anell dels enters, amb la convenció següent:
en Termes de transformada de Fourier, es pot considerar l'aplicació que a χ associa com la transformada de Fourier del prolongament de χ a Fp per la igualtat χ(0) = 0 al grup additiu del cos i l'aplicació que a ψ associa com la transformada de Fourier de la restricció de ψ a Fp* en el grup multiplicatiu del cos.
Si m és un enter primer amb p, llavors es verifica la igualtat següent:
En efecte, la definició d'un sumatori de Gauss implica les igualtats següents:
Utilitzem el canvi de variable següent u = mk, s'obté:
El que clou la demostració.
Si χ i ψ són dos caràcters diferents del caràcter constant igual a u, llavors es verifica la igualtat següent:
En efecte, la definició d'un sumatori de Gauss implica les igualtats següents:
Aquí, λl designa l'enter comprès entre u i p - 1 tal que l.λl és congruent a u mòdul p. Utilitzem el canvi de variable seguint u = k.λl, s'obté:
S'observa que l'aplicació que a la classe de l associa el valor del caràcter ψ per a la classe de ul és un caràcter del grup additiu Fp. Si u és diferent de la unitat, aquest caràcter és diferent de ψ i per tant és ortogonal ja que dos caràcters diferents d'un grup finit són ortogonals (cf caràcter d'un grup finit). Se'n dedueix:
Se'n dedueix, limitant el sumatori a p - 1, les igualtats següents:
El que demostra la igualtat següent:
Igualment, el caràcter multiplicatiu χ és ortogonal al caràcter constant igual a 1, en conseqüència:
El que demostra la igualtat següent i acaba la demostració:
'Si μ designa el caràcter multiplicatiu igual a 1 sobre els quadrats de Fp* i -1 si no, llavors la es verifica igualtat següent:
Com que μ és igual al seu conjugat, la proposició precedent, demostra que:
L'exemple històric, publicat per Gauss el 1801 és el següent:
Si τp és wl sumatori definit a la línia següent, llavors τp² és igual a (-1/p).p.
Demostració
Sigui H el subgrup del grup multiplicatiu Fp* compost dels residus quadràtics de Fp*. Sigui P1 el sumatori dels caràcters de ψ1 sobre H i P₂ el sumatori dels caràcters de 1 sobre el complementari de H en Fp*. Llavors es verifica la igualtat següent:
Ara Bé ψ1 és un caràcter additiu diferent del caràcter constant sobre Fp, és per tant ortogonal, se'n dedueix:
El valor G(μ, ψ1) de l'última proposició del paràgraf precedent s'expressa de la manera següent:
Finalment, l'aplicació de Fp* en H que a la classe de x associa la classe de x² és una aplicació exhaustiva tal que tota imatge admet exactament dos antecedents, en conseqüència:
L'última proposició del paràgraf precedent acaba la demostració.
La primera proposició descrita en les propietats dels sumatoris de Gauss mostra que:
Les propietats del símbol de Legendre mostren també que:
se'n dedueix la igualtat:
Multiplicant per p els dos termes de la igualtat i dividint per p, s'obté:
S'observa llavors que la igualtat precedent és un producte de factors iguals a 1 o -1, la igualtat precedent és per tant també una igualtat en Z/qZ i també en Z, se'n dedueix: