Superfície d'Enneper

Una porció de la superfície d'Enneper

En matemàtiques, en els camps de la geometria diferencial i geometria algebraica, la superfície d'Enneper és una superfície que s'autointersecciona i que pot ser descrita paramètricament per:

$x=u(1-u^{2}/3+v^{2})/3,\$

$y=-v(1-v^{2}/3+u^{2})/3,\$

$z=(u^{2}-v^{2})/3.\$

Va ser introduïda el 1864 per Alfred Enneper en connexió amb la teoria de la superfície minimal.

La parametrització de Weierstraß–Enneper és molt simple, $f(z)=1,g(z)=z$, i la forma paramètrica real es pot calcular a partir d'aquesta. La superfície està conjugada amb si mateixa.

Es poden usar mètodes d'implicitació de geometria algebraica per a trobar els punts de la superfície d'Enneper que satisfacen l'equació polinòmica de grau 9:

$64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\$

${}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\$

${}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\$

Dualment, el pla tangent en el punt amb els paràmetres donats és $a+bx+cy+dz=0,\$

on:

$a=-(u^{2}-v^{2})(1+u^{2}/3+v^{2}/3),\$

$b=6u,\$

$c=6v,\$

$d=-3(1-u^{2}-v^{2}).\$

Els seus coeficients satisfan l'equació polinòmica de grau sis implícita:

$162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\$

${}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\$

El jacobià, la curvatura de Gauss i la curvatura mitjana són:

$J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81,\$

$K=-(4/9)/J,\$

$H=0.\$

La curvatura total és $-4\pi$. Osserman va demostrar que una superfície minimal completa en $\mathbb {R} ^{3}$ amb una curvatura total de $-4\pi$ és o bé el catenoide o la superfície d'Enneper.

Una altra propietat n'és que totes les superfícies de Bézier minimals bicúbiques, fins a una transformació afí, són trossos d'aquesta superfície.

Es pot generalitzar a ordres de simetria rotacional majors usant la parametrització de Weierstraß–Enneper $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ per a sencers k>1. Pot ser generalitzada per a majors dimensions; es coneixen superfícies semblants a la superfície d'Enneper en $\mathbb {R} ^{n}$ fins a n igual a 7.

Enllaços externs

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Enneper surface», Encyclopaedia of Mathematics (en anglès), Springer, ISBN 978-1556080104. 
• http://www.math.hmc.edu/~gu/corbis_and_surfaces/surfaces/enneper.html Arxivat 2013-05-01 a Wayback Machine..
• https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html Arxivat 2016-09-19 a Wayback Machine.