Taula de derivades

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En el procés de càlcul de derivades o diferenciació, es pot obtenir la derivada de qualsevol funció elemental emprant les regles de derivació i la taula de derivades de les funcions base a partir de les quals es construeixen la resta de funcions elementals.

Les derivades d'aquestes funcions base s'obtenen normalment a partir de la definició de derivada, aplicant les propietats de cada funció i amb les tècniques de càlcul de límits.

Taula de derivades[modifica | modifica el codi]

Funció F: primitiva de f Funció f: derivada de F
Funcions elementals
Funcions trigonomètriques
Funcions hiperbòliques

Funcions especials[modifica | modifica el codi]

Funció Gamma

Funció zeta de Riemann

Demostracions[modifica | modifica el codi]

Derivada d'una constant[modifica | modifica el codi]

Article principal: Derivada d'una constant

En el cas de la funció constant la seva gràfica és una recta horitzontal i per tant té pendent zero a tot arreu, aquest resultat també s'obté directament en aplicar la definició de derivada a la funció constant: f(x)=c.

.

Derivada d'una potència entera[modifica | modifica el codi]

En cas que , s'obté:

.

Aplicant la fórmula del binomi de Newton, agrupant els termes que tenen h elevada a una potència superior a 2 i traient h2 factor comú d'aquests termes, resulta:

A partir d'aquí, operant s'obté:

.

Derivada d'una potència real[modifica | modifica el codi]

Pel càlcul de la derivada d'una potència real primer es transforma l'expressió:

Llavors s'aplica la regla de la cadena:

Amb

D'aquí, operant, i tenint en compe la derivada de la funció exponencial (vegeu més endavant) resulta:

Aquesta expressió, és formalment idèntica al cas de la potència entera.

Pel cas particular de resulta:

Per tant:

Derivada de la funció logaritme[modifica | modifica el codi]

Sigui , aleshores es defineix la funció logaritmica com , aplicant la definició de derivada i ficant els termes dins de la funció logaritme s'obté:

Aquesta expressió es pot transformar de la següent manera:

Però quant tendeix a zero tendeix a infinit (si , cosa que hem imposat al principi), per tant el límit es pot calcular tenint en compte la definició del nombre e:

Per tant la derivada de la funció logaritme és:

O el que és el mateix:

tenint en compte que:

Com es pot comprovar plantejant:

En el cas particular del logaritme natural:

Si en comptes de la funció definim la funció (de la mateixa manera que abans imposàvem que , ara s'ha de complir que )

Podem aplicar la regla de la cadena per calcular :

I, en concret si

Derivada de la funció exponencial[modifica | modifica el codi]

Com que la funció exponencial és la inversa de la funció logaritme, s'aplica la regla de la derivada de la funció inversa:

Amb:

Substituint i operant resulta:

O el que és el mateix:

Pel cas particular de què resulta:

De nou, aplicant la regla de la cadena podem trobar la derivada de la funció

I, en concret si

Derivada de la funció [modifica | modifica el codi]

Si i són funcions derivables i podem resumir totes les derivades anteriors en una sola derivada utilitzant només les derivades de les funcions i , la derivada de la funció

Tenint en compte que podem escriure com , aleshores

Veiem que efectivament aquesta derivada ens condueix a:

Cal notar que la primera expressió només està definida quan i la segona només ho està quan . Tot i així, pels valors de pels quals podem definir (valors enters o racionals amb denominador senar), si podem escriure

Generalitzant així la equació per a tot valor de .

Les altres expressions es poden trobar de manera similar o aplicant la derivada de la funció inversa.

Derivada de les funcions trigonomètriques[modifica | modifica el codi]

Les derivades de les funcions sinus i cosinus es troben a partir de la definició de derivada, aplicant les identitats trigonomètriques de la suma de raons trigonomètriques

i les identitats trigonomètriques

Un cop s'han trobat les derivades del sinus i del cosinus la derivada de la tangent es calcula aplicant la regla del quocient a la identitat trigonomètrica:

A partir d'aqui es troben les derivades de les funcions cotangent, secant i cosecant aplicant la Regla de la raó inversa d'una funció a les identitats:

Els detalls de tot el procés es troben a l'article Derivació de les funcions trigonomètriques

Derivada de les funcions inverses de les funcions trigonomètriques[modifica | modifica el codi]

La derivada de les inverses de les funcions trigonomètriques es calculen aplicant la regla de la funció inversa a cada una de les funcions trigonomètriques i simplificant el resultat.

Derivada de les funcions hiperbòliques[modifica | modifica el codi]

Les derivades de les funcions hiperbòliques s'obtenen a partir de les seves definicions emprant la derivada de la funció

:[modifica | modifica el codi]

:[modifica | modifica el codi]

:[modifica | modifica el codi]

O, utilitzant la relació

Per les funcions hiperbòliques inverses fem servir la regla de la funció inversa.

:[modifica | modifica el codi]

Denotem , la regla de la funció inversa ens diu que

Com que

:[modifica | modifica el codi]

Sigui , la regla de la funció inversa ens diu que

Com que

:[modifica | modifica el codi]

Sigui , la regla de la funció inversa ens diu que

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

http://www.edicionsupc.cat/virtuals/caplln/ME01007X.htm#

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]