Teorema de Brahmagupta

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
i
implica

En geometria euclidiana, el teorema de Brahmagupta (anomenat així en honor del matemàtic indi Brahmagupta)[1] dóna una condició necessària sobre la perpendicularitat de les diagonals d'un quadrilàter cíclic (inscriptible en un cercle).[2]

Si les diagonals d'un quadrilàter cíclic són perpendiculars, llavors tota recta perpendicular a un costat qualsevol del quadrilàter i que passi per la intersecció de les diagonals, divideix el costat oposat en dues parts iguals.

Demostració[modifica]

Donat un quadrilàter inscriptible ABCD les diagonals del qual són perpendiculars, es vol demostrar que AF = FD. Per això, es demostrarà que AF i FD són tots dos iguals a FM.

L'angle FAM i CBM són iguals (a causa del teorema dels angles inscrits que s'intersequen el mateix arc de cercle). A més, els angles CBM i CME són angles complementaris a l'angle BCM. Finalment, AFM és un triangle isòsceles, i en conseqüència, els seus costats AF i FM són iguals.

De manera anàloga, es demostra que FD = FM. Els angles FDM, BCM, BME i DMF són tots iguals, llavors DFM és un triangle isòsceles, d'on FD = FM. D'aquí, es dedueix que AF = FD, cosa que demostra el teorema.

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. «Geometry Revisited». Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1967, pàg. 59.
  2. Michael John Bradley «The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300». Publisher Infobase Publishing, 85, 2006, pàg. 70.

Enllaços externs[modifica]