Teorema de Gauss-Bonnet

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

En geometria diferencial, el teorema de Gauss-Bonnet ( o fórmula de Gauss-Bonnet) és una fórmula que afirma la igualtat de dues quantitats definides de forma ben diferent en una varietat riemanniana compacta i orientable de dues dimensions : la integral de la Curvatura Gaussiana de (sentit geomètric) i vegades la Característica d'Euler de (sentit topològic).[1]

El teorema porta el nom dels matemàtics Carl Friedrich Gauss, qui va tenir consciència d'una versió del teorema sense haver-la mai publicat, i de Pierre-Ossian Bonnet, qui en va publicar una versió particular el 1848.

Enunciat[modifica | modifica el codi]

Sigui una varietat riemanniana de dues dimensions compacta i sense límits; aleshores la integral de la curvatura de Gauss permet calcular característica d'Euler de la supefìcie.

[2]

Per una varietat compacte amb límits, la fórmula és:

siguent la curvatura geodèsica dels vértexs .

Si el límit només és regular a trossos, la fórmula continua sent vàlida, prenent en lloc de l'integral la suma de les integrals corresponents de les porcions regulars del límit més la suma dels angles formats als punts angulars.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Lee, pàgina 155.
  2. Bloch, pàgina 328.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]