Teorema de Green

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

En física i matemàtiques, el teorema de Green dóna la relació entre una integral de línia al voltant d'una corba tancada simple C i una integral doble sobre la regió plana D limitada per C. El teorema de Green es diu així pel científic britànic George Green i és un cas especial del més general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sigui C una corba tancada simple positivament orientada, diferenciable per trossos, en el pla i sigui D la regió limitada per C. Si L i M tenen derivades parcials contínues en una regió oberta que conté D,

A vegades la notació

s'utilitza per establir que la integral de línia està calculada usant l'orientació positiva (antihorària) de la corba tancada C.

Prova del teorema de Green quan D és una regió simple[modifica]

Regió simple

Si demostrem que les equacions 1 i 2

i

són correctes, demostrarem el teorema de Green.

Si expressem D com a regió tal que:


on g1 i g2 són funcions contínues, podem computar la integral doble de l'equació 1:

:


Ara particions C com la unió de quatre corbes: C1, C2, C3, C4.

Amb C1, s'utilitzen les equacions paramètriques, x = x, y = g1(x), amb axb. Per tant:

Amb C3, s'utilitzen les equacions paramètriques, x = x, y = g2(x), amb axb. Llavors:

Amb C2 i C4, x és una constant, significant:

Per tant,


Combinant això amb l'equació 4, tenim:

Una prova similar es pot emprar en l'equació 2.

Relació amb el teorema de la divergència[modifica]

El teorema de Green és equivalent a la següent analogia bidimensional del teorema de la divergència:

on és l'inversor normal sortint a la frontera.

Per veure això, consideri la unitat normal en la part dreta de l'equació. Com és un vector apuntant tangencialment a través d'una corba, i la corba C està orientada de manera positiva (és a dir, en contra del sentit de les agulles del rellotge) a través de la frontera, un vector normal sortint seria aquell que apunta a 90 º cap a la dreta, el qual podria ser . El mòdul d'aquest vector és . Per tant .

Prenent els components de , el costat dret es converteix en

que per mitjà del teorema de Green és:

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Teorema de Green Modifica l'enllaç a Wikidata

Llibres recomanats

Càlcul multivariable [quarta edició] autor: James Stewart