Teorema de Heine-Cantor

En matemàtiques, el teorema de Heine-Cantor, anomenat així per deure's a Eduard Heine i Georg Cantor, estableix que, si $f:M\rightarrow N$ és una funció contínua entre dos espais mètrics i $M$ és compacte, llavors $f$ és uniformement contínua.

Demostració

La continuïtat uniforme d'una funció s'expressa com:

\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0\ \forall x,y\in M\ |\left(d_{M}(x,y)<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon \right),

on $d_{M}$ i $d_{N}$ són les funcions distància als espais mètrics $M$ i $N$ , respectivament. Si ara assumim que $f$ és contínua a l'espai mètric compacte $M$ però no uniformement contínua, la negació de la continuïtat uniforme de $f$ s'escriu com:

\exists \varepsilon _{0}>0\ \forall \delta >0\ \exists x,y\in M\ |\ {\big (}d_{M}(x,y)<\delta \wedge d_{N}(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}{\big )}.

Triant $\varepsilon _{0}$ , per a tot $\delta$ positiu tenim dos punts $x$ i $y$ de $M$ amb les propietats a dalt descrites.

Si triem $\delta ={\frac {1}{n}}$ per a $n=1,2,3,...$ obtenim dues successions $\{x_{n}\}$ i $\{y_{n}\}$ tals que compleixen

d_{M}(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}\wedge d_{N}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.

Com que $M$ és compacte, el teorema de Bolzano-Weierstrass demostra l'existència de dues subsucesiones convergents ( $x_{n_{k}}\rightarrow x_{0}$ i $y_{n_{k}}\rightarrow y_{0}$ ). Aleshores

d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\wedge d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}.

Definim ara la successió

\{|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|\}=\{d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})\}\leq {\bigg \{}{\frac {1}{n_{k}}}{\bigg \}}\rightarrow 0

Com que la successió $\{|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|\}$ no té termes negatius no pot convergir cap a un nombre negatiu, però per altra banda $\{|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|\}\rightarrow l\leq 0\Longrightarrow l=0$ Per tant

$\{x_{n_{k}}-y_{n_{k}}\}\rightarrow 0\Longrightarrow \{x_{n_{k}}-y_{n_{k}}\}\rightarrow x_{0}-y_{0}=0\Longrightarrow x_{0}=y_{0}$

Com que $f$ és contínua a $x_{0}$ , tenim que $\{f(x_{n_{k}})\}\rightarrow f(x_{0})$ i $\{f(y_{n_{k}})\}\rightarrow f(x_{0})$ , és a dir, $\{f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})\}\rightarrow 0$ . Però això no pot ser, ja que $d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}$ .

La contradicció prova que la nostra suposició que $f$ no és uniformement contínua és absurda: llavors $f$ ha de ser uniformement contínua com afirma el teorema.

Enllaços externs