Teorema de Lagrange (àlgebra)

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En teoria de grups, el teorema de Lagrange és un resultat important que relaciona l'ordre d'un grup finit (el seu nombre d'elements) amb l'ordre de qualsevol dels seus subgrups. El teorema afirma que si és un grup finit i és un subgrup normal de , llavors:

on i són l'ordre del grup i l'ordre del subgrup , en tant que és l'índex de en .

El recíproc del teorema de Lagrange, en general, no es compleix, ja que existeix grups d'ordre que poden no tenir un subgrup d'ordre malgrat que . Per exemple, el grup simètric té ordre 24 i no té cap subgrup d'ordre 6. En general, els grups no resolubles són exemples en els quals el recíproc del teorema de Lagrange no es compleix. En canvi, el recíproc del teorema de Lagrange és sempre cert per al cas de grups abelians, i per tant ho és també per a grups cíclics.

El teorema duu el nom del matemàtic italià Joseph Louis Lagrange, que el va publicar l'any 1771.[1]

Demostració[modifica]

Consideri's inicialment una relació d'equivalència sobre un grup finit G, definida com:

Atès que se sap per hipòtesi que G és finit, se sap que únicament poden existir un nombre finit de classes d'equivalència diferents, és a dir, l'índex de H en G és finit. Es pot demostrar que:

és la classe d'equivalència de g per a la relació . Suposi's llavors que les classes d'equivalència diferents són: . Atès que són diferents i són totes les possibles, G és la unió disjunta d'aquestes classes:

Sigui . Fixat un enter , de la igualtat es dedueix que . Per tant, els elements de la classe són tots diferents, ja que:

Així, , llavors . D'aquí, es desprèn que divideix i de fet m és l'índex , ja que:

Per tant:

quedant doncs demostrat l'enunciat del teorema -QED.

Conseqüències[modifica]

Consideri's un element qualsevol, el subgrup generat per a ha de satisfer el teorema de Lagrange. Per tant, l'ordre de qualsevol element de G, que coincideix amb el cardinal del subgrup generat per ell, divideix l'ordre de G.[2]

Una conseqüència immediata d'això és que tot grup d'ordre primer és cíclic, ja que l'ordre d'un element de diferent a la identitat només pot ser , i doncs és un generador de .

A partir del teorema de Lagrange es pot, per exemple, demostrar que si són subgrups finits d'un grup , llavors

on (aquest conjunt pot no ser un subgrup de ).

El teorema de Lagrange proporciona una forma interessant de demostrar que l'ordre del grup simètric de las permutacions de símbols és .[3] A més, si és el subgrup alternant de , llavors:

ja que .

Generalització[modifica]

El teorema de Lagrange és en realitat un cas especial del fet següent:

Si i són dos subgrups d'un grup , sent alhora un subgrup de , llavors:

(fórmula de transitivitat de l'índex)

En aquest cas i els subgrups poden ser infinits. Així, el teorema de Lagrange es converteix en un cas particular d'aquest fet, ja que l'expressió inicial pren com el subgrup trivial de en aquesta última equació.

Referències[modifica]

  1. Lagrange, J.L. «Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs.». Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, 1771, pàg. 138–254.; véanse especialmente las páginas 202-203.
  2. (Artin 2010, p. 57)
  3. (Lang 2002, p. 13)

Bibliografia[modifica]

  • Lang, Serge. Algebra. Springer-Verlag, 2002. 
  • Rowen, L. A K Peters. Groups, Rings and Fields, 1994. 
  • Grillet, P. A.. Abstract Algebra. Springer, 2007. 
  • Artin, Michael. Algebra. 2ª. Pearson, 2010.