Teorema de convolució

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, el teorema de convolució estableix que en determinades circumstàncies, la Transformada de Fourier d'una convolució és el producte punt a punt de les transformades de Fourier. En altres paraules, la convolució en un domini (per exemple el domini temporal) és equivalent al producte punt a punt en l'altre domini (és a dir domini espectral).

Siguin f i g dues funcions la convolució s'expressa amb . (Nota: l'asterisc en aquest context, indica convolució i no multiplicació, de vegades s'utilitza també el símbol ). Sigui l'operador de la transformada de Fourier, de manera que i són les transformades de Fourier de f i g , respectivament.

Llavors

on "·" indica producte punt. També es pot afirmar que:


Aplicant la transformada inversa de Fourier , podem escriure:

Demostració[modifica | modifica el codi]

La demostració funciona per normalitzacions unitàries i no unitàries de la transformada de Fourier, però en la versió unitària té factors extres de que aquí, són inconvenients. Siguin

Siguin la transformada de Fourier de i la transformada de Fourier de :

.

Sigui la convolució de i

Nota:

Pel teorema de Fubini tenim que , així que la seva transformada de Fourier està definida.

Sigui la transformada de Fourier de :

Tenint en compte que i gràcies a l'argument d'abans podem aplicar novament el teorema de Fubini:

Substituint ; tenim , i per tant:


Aquestes dues integrals són les definicions de i , així que:

Que és el que volíem demostrar.