Teorema de de Gua

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search
Tetraedre amb angles rectes al vèrtex O

En geometria, el Teorema de de Gua (pel matemàtic francès Jean Paul de Gua de Malves) és una analogia tridimensional del teorema de Pitàgores.

En un tetraedre amb un vèrtex amb tres angles rectes (vegeu figura), el quadrat de l'àrea de la cara oposada a aquest vèrtex és igual a la suma dels quadrats de les àrees de les altres tres cares.

Generalitzacions[modifica]

El teorema de Pitàgores i el teorema de de Gua són casos especials per a d'un teorema més general sobre n-símplex amb un vèrtex amb angles rectes. Aquest teorema, al seu torn, és un cas especial d'un teorema encara més general que es pot expressar de la següent forma:[1]

Sigui un pla k-dimensional a , amb , i sigui un subconjunt compacte de . Per qualsevol subconjunt amb exactament k elements, sigui la projecció ortogonal de en l'espai vectorial generat de , on i és la base canònica de . Aleshores,

on és el volum k-dimensional de i la suma és sobre tots els subconjunts amb exactament k elements.

Aquest teorema és bàsicament la versió prehilbertiana del teorema de Pitàgores aplicada al k-èsim producte vectorial extern d'un espai euclidià n-dimensional.

Història[modifica]

Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785) va publicar el teorema el 1783, però en la mateixa època es va publicar una versió més general pel matemàtic francès Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818). Això no obstant, el teorema era conegut per Descartes i per Johann Faulhaber.[2] Marc Antoine Parseval en va donar uns anys després la interpretació analítica amb la identitat de Parseval.

Referències[modifica]

  1. Alvarez, Sergio A. «Note on an n-dimensional Pythagorean theorem». Carnegie Mellon University, 2010. «Teorema 2.1»
  2. Eves, Howard Whitley. Great Moments in Mathematics (before 1650). Mathematical Association of America, 1983, p. 37 i ss.. ISBN 9780883853108. 

Enllaços externs[modifica]