Teorema de la projecció de Hilbert

Projecció de dos punts sobre una C convexa.

En matemàtiques, el teorema de la projecció o teorema de la projecció de l'espai de Hilbert és un resultat de l'anàlisi convexa, sovint utilitzada en l'anàlisi funcional, que estableix que per a cada punt $x$ en un espai de Hilbert $H$ i per a cada conjunt convex tancat $C\subset H$ només n'hi ha un $y\in C$ de manera que la distància $\lVert x-y\rVert$ pren el valor mínim en $C$. En particular, això és cert per a qualsevol subespai tancat $M$ De $H$ : en aquest cas una condició necessària i suficient per a $y$ és que el vector $x-y$ ser ortogonal a $M$.

Demostració

Per demostrar l'existència de $y$, és $\delta$ la distància entre $x$ I $C$, és $\{y_{n}\}$ una successió en $C$ de manera que la distància al quadrat entre $x$ I $y_{n}$ és menor o igual a $\delta ^{2}+1/n$. Si $n$ I $m$ són dos nombres enters, doncs, per la llei del paral·lelogram:

$\|y_{n}-y_{m}\|^{2}=\|y_{n}-x+x-y_{m}\|^{2}=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-\|y_{n}+y_{m}-2x\|^{2},$

de la qual

$\|y_{n}-y_{m}\|^{2}=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-4\|{\frac {y_{n}+y_{m}}{2}}-x\|^{2}.$

Considerant el límit superior dels dos primers termes de la igualtat, i observant que els termes de la seqüència entre $y_{n}$ I $y_{m}$ pertanyen a $C$ (i per tant tenen una distància de $x$ més gran o igual que $\delta$ ), obtenim:

$\|y_{n}-y_{m}\|^{2}\;\leq \;2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{n}}\right)+2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{m}}\right)-4\delta ^{2}=2\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)$

L'última desigualtat mostra en particular que $\{y_{n}\}$ és una seqüència de Cauchy. Ser $C$ completa, la seqüència convergeix a un punt $y\in C$ la distància de qui $x$ és mínim.

Per mostrar la singularitat de $y$, són $y_{1}$ I $y_{2}$ dos punts que minimitzen la distància. Tenim:

$\|y_{2}-y_{1}\|^{2}=2\|y_{1}-x\|^{2}+2\|y_{2}-x\|^{2}-4\|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\|^{2}.$

Donat que $(y_{1}+y_{2})/2$ pertany a $C$ tenim:

$\|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\|^{2}\geq \delta ^{2}$

i després:

$\|y_{2}-y_{1}\|^{2}\leq 2\delta ^{2}+2\delta ^{2}-4\delta ^{2}=0.$

Per tant $y_{1}=y_{2}$, cosa que demostra la singularitat.

Per demostrar l'equivalència de la condició en $y$ en cas $C=M$ és un subespai tancat, tots dos $z\in M$ de tal manera que $\langle z-x,a\rangle =0$ per a tots els $a\in M$. La condició és suficient perquè:

$\|x-a\|^{2}=\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2}+2\langle z-x,a-z\rangle =\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2},$

la qual cosa demostra el fet que $z$ És un "minimitzador". La condició també és necessària, com es pot veure col·locant $y\in M$ un "minimitzador". És $a\in M$ I $t\in \mathbb {R}$. En aquell moment:

$\|(y+ta)-x\|^{2}-\|y-x\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +t^{2}\|a\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +O(t^{2})$

sempre és no negatiu. Així doncs, $\langle y-x,a\rangle =0$.