Teorema de probabilitats totals

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El Teorema de probabilitats totals afirma el següent:

Sigui una partició sobre l'espai mostral i sigui un succés qualsevol del qual es coneixen les probabilitats condicionals , llavors la probabilitat de l'èxit ve donada per l'expressió:

Fórmula de probabilitats totals[modifica | modifica el codi]

  • Donat un espai de probabilitats Si és un sistema exhaustiu (finit o numerable) d'esdeveniments, i si, per qualsevol llavors, per a tot esdeveniment tenim

Notes[modifica | modifica el codi]

  • Si quan es defineix posa problema : seria la probabilitat condicional de i sabent un esdeveniment que no es produeix mai, a saber, La definició habitual de portaria llavors a dividir per 0. .. Una convenció que rarament és nociva consistiria en assignar a un valor arbitrari entre 0 i 1: Mai no caldrà predir la probabilitat de l'esdeveniment sabent ja que no es produirà mai, així que, assignar a un valor arbitrari no causarà cap error. D'altra banda, en la fórmula de probabilitats totals, assignar a un valor arbitrari entre 0 i 1 no és important, ja que es multipliqca llavors aquest valor per En resum, amb aquest conveni, la hipòtesi és superflua per a la fórmula de probabilitats totals.
  • La hipòtesi per la qual és un sistema exhaustiu pot perdre pes: pot ser substituït per

Una variant[modifica | modifica el codi]

Teorema[modifica | modifica el codi]

Donat un espai de probabilitats i un esdeveniment A. Si és una partició (finita o numerable) de l'esdeveniment B,

Demostració[modifica | modifica el codi]

ja que CQFD

Corol·lari[modifica | modifica el codi]

  • Si és una partició (finita o numerable) de l'esdeveniment B, i si no depèn de i, llavors el valor comú de les probabilitats condicionals és

Demostració[modifica | modifica el codi]

Si x el valor comú de les probabilitats condicionals Llavors

CQFD


Aquest corol·lari permet reduir el càlcul de a calcular de vegades més fàcil, perquè l'esdeveniment B i , sent més petit que l'esdeveniment B, ofereix informació més precisa, i facilita la predicció de (pronòstic = càlcul de probabilitat condicional). Això passa sovint quan s'estudien dues cadenes de Markov, en que una és la imatge de l'altra. La demostració de la propietat de Markov per als processos de Galton-Watson n'és un exemple entre d'altres.