Teorema del punt fix de Banach

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Dins l'entorn d'anàlisi matemàtica el teorema del punt fix de Banach (també anomenat teorema de l'aplicació contractiva) és una de les eines més importants per demostrar l'existència de solucions de nombrosos problemes matemàtics. El teorema garanteix l'existència i unicitat de punts fixos de certes funcions definides en espais mètrics i proporciona un mètode per trobar-los. Deu el seu nom a Stefan Banach (1892-1945), qui va ser el primer a enunciar el 1922.[1]

Enunciat[modifica | modifica el codi]

Sigui (X, d) un espai mètric complet i f una aplicació de X en X. Es diu que és contractiva si existeix K<1 tal que  d(f(x), f(y))\leq K d(x, y) per a qualssevol  x, y\in X . Un punt fix  x_0 \, de f és un punt de X tal que  f(x_0) = x_0 . Llavors el teorema del punt fix de Banach diu:

Sigui ( X , d ) un espai mètric complet i sigui f : XX una aplicació contractiva en X . Aleshores f té un únic punt fix.


Stefan Banach

A més a més, el teorema estableix que per a tot x de X la successió x , f (x) , f (f (x)) , ... convergeix cap a aquest punt fix.

Demostració[modifica | modifica el codi]

La demostració ve donada en que la successió així definida és una successió de Cauchy per ser la funció contractiva. Com X és complet, la successió convergeix a un  x_0 de X Per ser la funció contractiva, és contínua i de la forma en què s'ha definit, es dedueix que  x_0 és un punt fix de la funció i que és únic.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Es tracta d'una eina bàsica en la demostració de l'existència de solucions d'equacions diferencials (Vegeu el teorema de Picard-Lindelöf). Un altre dels usos d'aquest resultat radica en l'anàlisi de sistemes dinàmics, que té nombroses aplicacions, per exemple en l'estudi de models de població, models caòtics, etcètera. També és important en l'estudi de mètodes iteratius utilitzats en el càlcul numèric, per exemple en alguns problemes d'enginyeria. Fins i tot determinats fractals són punts fixos de certes contraccions.


Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Jahnke, Hans Niels. A History of Analysis (en anglès). American Mathematical Soc., 2003, p. 402. ISBN 0821826239.