Teorema fonamental de la geometria de Riemann

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En geometria de Riemann, el teorema fonamental de la geometria de Riemann estableix que, donada una varietat de Riemann (o una varietat seudoriemanniana), hi ha una única connexió lliure de torsió que preserva el tensor mètric. Tal connexió s'anomena connexió de Levi-Civita.

Més exactament:

Sigui un varietat de Riemann (o varietat seudoriemanniana) llavors hi ha una connexió única que satisfà les condicions següents:

  1. Per a qualssevol camps vectorials tenim , on denota la derivada de la funció al llarg del camp vectorial .
  2. Per a qualssevol camps vectorials tenim , on denota el claudàtor de Lie per als camps vectorials .

La prova tècnica següent presenta una fórmula per als símbols de Christoffel de la connexió en un conjunt coordinat local. Per a una mètrica donada, aquest conjunt d'equacions pot arribar a suposar tot un repte. Hi ha mètodes més ràpids i més simples d'obtenir els símbols de Christoffel per a una mètrica donada, i amb la integral d'acció i les equacions associades d'Euler-Lagrange.

Demostració[modifica | modifica el codi]

En aquesta prova utilitzem la notació d'Einstein.

Considereu el conjunt coordinat local i denotem per el camp dels marcs de base.

Els components són nombres reals del tensor mètric aplicat a una base, és a dir:

Per a especificar la connexió, és suficient especificar els símbols de Christoffel .

Ja que són els camps de coordenades vectorials hem de:

per a tots i i j . Per tant, la segona propietat és equivalent a:

la qual cosa és equivalent a per a tots els i, j i k.

La primera propietat de la connexió de Levi-Civita (a dalt), llavors, és equivalent a:

.

Això dóna la relació única entre els símbols de Christoffel (que defineixen la derivada covariant) i els components del tensor mètric.

Podem invertir aquesta equació i expressar els símbols de Christoffel amb un petit truc, escrivint aquesta equació tres vegades amb una elecció pràctica dels índexs:

Sumant, la majoria dels termes en el costat dret es cancel·len i ens quedem amb:

O amb l'invers de , definit com (amb la delta de Kronecker):

escrivim els símbols de Christoffel com a:

És a dir, els símbols de Christoffel (i per tant la derivada covariant) són determinats totalment per la mètrica, amb les equacions que impliquen la derivada de la mètrica.