Teoria de Galois

Évariste Galois (1811–1832)

En matemàtiques, la teoria de Galois és un conjunt de resultats que connecten la teoria de cossos amb la teoria de grups. La teoria de Galois té aplicació en diversos problemes de la teoria de cossos, i gràcies a aquesta teoria, es poden reduir a problemes més senzills de la teoria de grups. La teoria de Galois pren el nom del matemàtic francès Évariste Galois (1811-1832), mort a l'edat de 20 anys.

Aplicacions de la teoria de Galois

El naixement de la teoria de Galois estigué motivada per l'intent de respondre a la següent qüestió:

Per què no existeix una fórmula per a la resolució d'equacions polinòmiques de cinquè grau (o superior) en termes dels coeficients del polinomi, usant operacions algebraiques (suma, resta, multiplicació, divisió) i l'extracció d'arrels (arrels quadrades, cúbiques, etc.); tal com existeix per a les equacions de segon, tercer i quart grau

El teorema d'Abel-Ruffini que és part de la teoria de Galois dona una resposta a aquesta pregunta. La teoria de Galois proporciona no només una elegant resposta a aquesta qüestió, sinó que també explica en detall per què és possible resoldre equacions de grau inferior al quart, i per quina les solucions són expressables mitjançant operacions algebraiques i extracció d'arrels.

A més la teoria de Galois proporciona respostes a problemes clàssics de la constructibilitat mitjançant la construcció amb regle i compàs. De fet, la teoria de Galois estableix quan és possible construir una certa longitud proporcional a una donada, i gràcies a això poden respondre's a les següents preguntes:

Quins polígons regulars són construïbles mitjançant regle i compàs?

Per què no és possible la trisecció de l'angle?

Enfocament

Si tenim un polinomi pot succeir que algunes de les seves arrels tinguin lligams entre elles mitjançant diverses equacions algebraiques, és a dir que compleixin aquestes equacions. Per exemple, pot succeir que per a dues de les arrels, diguem A i B, l'equació A² + 5B³ = 7 sigui certa. La idea central de la teoria de Galois és el considerar aquelles permutacions de les arrels que tinguin la propietat que qualsevol equació algebraica satisfeta per elles sigui satisfeta també després de la permutació o l'arranjament. És important assenyalar que ens restringim a equacions algebraiques els coeficients de les quals són nombres racionals. Es poden especificar certs cossos per als coeficients, però en els exemples s'utilitzen els nombres racionals. El conjunt de tals permutacions formaran un grup de permutacions, també anomenat Grup de Galois del polinomi (sobre els nombres racionals). Un exemple:

Primer exemple — equació quadràtica

Sigui l'equació quadràtica

x² − 4x + 1 = 0.

Mitjançant l'ús de la fórmula per l'equació quadràtica sabem que les seves dues arrels són

A = 2 + √3, i

B = 2 − √3.

Algunes de les equacions algebraiques que satisfan A i B són

A + B = 4, i

AB = 1.

En cadascuna d'aquestes equacions és clar que si intercanviem els papers de A i B obtenim equacions vàlides. Però, encara que no sigui tan obvi, això és cert per a qualsevol equació algebraica que satisfan A i B. Per a provar-ho es requereix la teoria dels polinomis simètrics.

Concloem que el grup de Galois del polinomi x² − 4x + 1 consisteix en dues permutacions: la identitat que deixa A i B quietes, i la transposició, que intercanvia A i B. Com grup, és isomorf al grup cíclic d'ordre dos, denotat Z/2Z.

Podríem plantejar l'objecció que existeix aquesta altra equació satisfeta per A i B: :A − B − 2√3 = 0, però que no és certa quan intercanviem els papers. No obstant això hem d'observar que no ens importa, ja que els seus coeficients no són racionals; √3 és irracional.

De forma semblant podem parlar de qualsevol polinomi quadràtic ax² + bx + c, on a, b i c són nombres racionals.

• Si el polinomi té només una arrel, per exemple x² − 4x + 4 = (x−2)², llavors el grup de Galois és trivial; això és, conté només a la permutació identitat.
• Si té dues arrels racionals diferents, per exemple x² − 3x + 2 = (x−2)(x−1), el grup és de nou trivial.
• Si té dues arrels irracionals (inclusivament el cas en el qual ambdues són nombres complexos), llavors el grup de Galois conté dues permutacions, com en l'exemple anterior.

Segon exemple: quelcom més enginyós

Considere's el següent polinomi:

x⁴ − 10x² + 1,

que pot escriure's també com:

(x² − 5)² − 24.

Desitgem descriure el grup de Galois d'este polinomi, novament sobre el cos dels nombres racionals. El polinomi té quatre arrels:

$A={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$

$B={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

$C=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$

$D=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

Existeixen 4! = 24 maneres de permutar aquestes quatre arrels, però no totes aquestes permutacions són membres del grup de Galois. Els membres del grup de Galois han de preservar qualsevol equació algebraica amb coeficients racionals A, B, C i D. Una de dites equacions és per exemple:

A + D = 0

Ja que posat que

$A+C=2{\sqrt {3}}\neq 0$,

la permutació

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

no està permesa, perquè transforma l'equació vàlida A + D = 0 en l'equació invàlida A + C = 0).

Una altra equació que les arrels satisfan és:

(A + B)² = 8.

Açò exclouria més permutacions, com per exemple:

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

Continuant d'aquesta manera, podem trobar que només les permutacions que satisfan les dues equacions anteriors simultàniament són:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

i per tant el grup de Galois és isomorf al grup de Klein.

Grups solubles i solució per radicals

Es diu que una arrel α es pot expressar en radicals si α és element d'un cos K tal que $F=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{s}=K$ on $K_{i+1}=K_{i}({\sqrt[{n_{i}}]{a_{i}}})\,\exists \,a_{i}\in K_{i},i=0,1,\ldots ,s-i$ Una equació polinomial és soluble per radicals si totes les arrels es poden expressar en radicals. Amb la teoria de Galois, és possible derivar el teorema següent:

El polinomi f(x) (en el cos F) és resoluble per radicals sí i només sí el seu grup de Galois és resoluble.

El problema invers de Galois

El problema invers de Galois planteja si tot grup finit pot ser el grup de Galois d'alguna extensió dels números racionals. Aquest problema, proposat inicialment al segle XIX per Hilbert, roman sense resoldre.

Bibliografia

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Teoria de Galois

• Baker, A. (2004): Una introducció a la Teoria Galois Arxivat 2017-09-21 a Wayback Machine., Universitat de Glasgow. (anglès)