Teoria informal de conjunts

La teoria informal de conjunts és una de les diverses teories que han estat desenvolupades entorn del debat dels fonaments de la matemàtica.

Els conjunts tenen una importància fonamental en les matemàtiques; de fet, de manera formal, la mecànica interna de les matemàtiques (nombres, relacions, funcions, etc.) pot definirse en termes de conjunts.

Requisits

La teoria informal de conjunts és una teoria “no formalitzada”, és a dir que empra un llenguatge quotidià per parlar de conjunts. Per la qual cosa, els connectors « i »; « o »; « no »; « si..., llavors»; « si i només si », no són subjectes de rigoroses definicions.

En els seus inicis, la teoria de conjunts era informal i va ser desenvolupada a finals del segle xix, principalment per Georg Cantor i Gottlob Frege, amb l'objectiu de permetre als matemàtics treballar amb conjunts infinits coherents.

No obstant això, aquesta teoria teoria primigènia permetia definir un conjunt a partir de qualsevol propietat sense cap restricció, cosa que va dur a antinòmies, o paradoxes lògiques, com la paradoxa de Russell, o semàntiques, com la paradoxa de Berry. Com a solció d'aquest conflicte es va elaborar la teoria axiomàtica de conjunts, el propòsit del qual era determinar amb precisió quines definicions de conjunts podien ser emprades. Actualment, es coneix la teoria axiomàtica de conjunts simplement com teoria de conjunts.

Conjunts, pertinença i igualtat

En la teoria informal de conjunts, un conjunto és descrit com una col·lecció d'objectes ben definida. Aquests objectes són anomenats elements o membres del conjunt i poden ser de qualsevol naturalesa: nombres, persones, altres conjunts, etc. Per exemple, el 4 és un element del conjunt de tots els nombres enters. Òbviament, el conjunt de tots els nombres és infinitament gran; no obstant això, no cal que el conjunt sigui precisament finit perquè pugui ser definit amb precisió.

Si x és element de A, llavors es diu que x pertany a A, o que x està a A. En aquest cas, aquesta proposició s'escriu o es representa formalment com: x ∈ A. Mentre que usar el símbol ∉ així: x ∉ A, vol dir que x no pertany a A.

Dos conjunts A i B són iguals quan tenen exactament els mateixos elements o, en altres paraules, ho són si cada element d'A és a la vegada element de B, i si cada element de B també pertany o està inclòs a A. Per exemple, el conjunt els elements del qual són 2, 3 i 5 és igual al conjunt de tots los nombres primers menors que 6. I si els conjunts A i B són iguals, això es representa comunament com A = B.

Els elements d'un conjunt el determinen íntegrament i això també és vàlid per a un conjunt buit, que és aquell que no té cap element, que es representa sovint com Ø o també { }. Llavors, partint del fet que fins i tot un conjunt buit està completament determinat pels seus elements, es conclou que només pot haver-hi un conjunt buit.

Mètode

Una teoria ingènua o informal en el sentit de teoria de conjunts informal és una teoria no formalitzada, és a dir, una teoria que utilitza el llenguatge natural per descriure conjunts i operacions sobre conjunts. Aquesta teoria tracta els conjunts com a objectes absoluts platònics. Les paraules i, o, si... aleshores, no, per a alguns, per a cada es tracten com en les matemàtiques ordinàries. Per conveniència, l'ús de la teoria de conjunts ingènua i el seu formalisme preval fins i tot en les matemàtiques superiors – fins i tot en entorns més formals de la mateixa teoria de conjunts.

El primer desenvolupament de la teoria de conjunts va ser una teoria de conjunts ingènua. Va ser creada a finals del segle xix per Georg Cantor com a part del seu estudi de conjunts infinits i desenvolupat com un sistema formal però inconsistent per Gottlob Frege en els seus Grundgesetze der Arithmetik.

La teoria de conjunts ingenus pot referir-se a diverses nocions molt diferents. Pot referir-se a

• Presentació informal d'una teoria de conjunts axiomàtica, per exemple, com a la Teoria de conjunts ingenus de Paul Halmos.
• Versions primerenques o posteriors de la teoria de Georg Cantor i altres sistemes informals.
• Teories decididament inconsistents (siguin axiomàtiques o no), com ara una teoria de Gottlob Frege que va donar lloc a la paradoxa de Russell, i teories de Giuseppe Peano i Richard Dedekind.

Paradoxes

La suposició que qualsevol propietat es pot utilitzar per formar un conjunt, sense restriccions, condueix a paradoxes. Un exemple comú és la paradoxa de Russell: no hi ha cap conjunt que consisteixi en tots els conjunts que no es contenen a si mateixos. Per tant, els sistemes consistents de teoria de conjunts (ja sigui ingènua o formal) han d'incloure algunes limitacions sobre els principis que es poden utilitzar per formar conjunts.

La teoria de Cantor

Alguns creuen que la teoria de conjunts de Georg Cantor no estava realment implicada en les paradoxes de la teoria de conjunts (vegeu Frápolli 1991). Una dificultat per determinar-ho amb certesa és que Cantor no va proporcionar una axiomatització del seu sistema. El 1899, Cantor era conscient d'algunes de les paradoxes derivades de la interpretació sense restriccions de la seva teoria, per exemple la paradoxa de Cantor i la paradoxa de Burali-Forti, i no creia que desacreditessin la seva teoria. La paradoxa de Cantor es pot derivar de la suposició (falsa) anterior —que qualsevol propietat P(x) es pot utilitzar per formar un conjunt— utilitzant per a P(x) x és un nombre cardinal. Frege va axiomatitzar explícitament una teoria en què es pot interpretar una versió formalitzada de la teoria de conjunts ingènua, i és aquesta teoria formal la que Bertrand Russell va abordar realment quan va presentar la seva paradoxa, no necessàriament una teoria que Cantor —, com s'ha esmentat, era conscient de diverses — presumiblement tenia en ment.

Teories axiomàtiques

La teoria axiomàtica de conjunts es va desenvolupar en resposta a aquests primers intents de comprendre els conjunts, amb l'objectiu de determinar amb precisió quines operacions es permetien i quan.

Consistència

Una teoria de conjunts ingènua no és necessàriament inconsistent si especifica correctament els conjunts que es poden considerar. Això es pot fer mitjançant definicions, que són axiomes implícits. És possible enunciar tots els axiomes explícitament, com en el cas de la teoria de conjunts ingènua de Halmos, que en realitat és una presentació informal de la teoria de conjunts axiomàtica habitual de Zermelo-Fraenkel. És ingènua perquè el llenguatge i les notacions són els de les matemàtiques informals ordinàries i perquè no tracta la consistència o la completesa del sistema d'axiomes.

De la mateixa manera, una teoria de conjunts axiomàtica no és necessàriament consistent: no necessàriament lliure de paradoxes. Dels teoremes d'incompletesa de Gödel es desprèn que un sistema lògic de primer ordre prou complicat (que inclou la majoria de teories de conjunts axiomàtiques comunes) no es pot demostrar consistent des de dins de la teoria mateixa – tret que sigui realment inconsistent. Tanmateix, generalment es creu que els sistemes axiomàtics comuns són consistents; pels seus axiomes exclouen algunes paradoxes, com la paradoxa de Russell. Basant-se en el teorema de Gödel, simplement no se sap – i mai se sap – si no hi ha paradoxes en aquestes teories o en cap teoria de conjunts de primer ordre prou complicada, de nou, tret que aquestes teories siguin realment inconsistents. Cal esmentar, però, que els resultats de la demostració de l'anàlisi ordinal teòrica de vegades s'interpreten com a proves de consistència.

El terme teoria de conjunts ingènua encara s'utilitza avui dia en algunes publicacions per referir-se a les teories de conjunts estudiades per Frege i Cantor, en lloc de les seves contraparts informals de la teoria axiomàtica de conjunts moderna.

Utilitat

L'elecció entre un enfocament axiomàtic i altres enfocaments és en gran part una qüestió de conveniència. En les matemàtiques quotidianes, la millor opció pot ser l'ús informal de la teoria axiomàtica de conjunts. Les referències a axiomes particulars normalment només es produeixen quan ho exigeix la tradició, per exemple, l’axioma d'elecció sovint es menciona quan s'utilitza. De la mateixa manera, les demostracions formals només es produeixen quan ho justifiquen circumstàncies excepcionals. Aquest ús informal de la teoria axiomàtica de conjunts pot tenir (segons la notació) precisament l’aparença d'una teoria de conjunts ingènua, tal com s'esbossa a continuació. És considerablement més fàcil de llegir i escriure (en la formulació de la majoria d'afirmacions, demostracions i línies de discussió) i és menys propens a errors que un enfocament estrictament formal.

Especificació de conjunts

La manera més senzilla de descriure un conjunt és enumerar els seus elements entre claus (conegut com a definir un conjunt extensionalment). Així, {1, 2} denota el conjunt els únics elements del qual són 1 i 2 (Vegeu axioma d'aparellament.) Tingueu en compte els punts següents:

• L'ordre dels elements és irrellevant; per exemple, {1, 2} = {2, 1}.
• La repetició (multiplicitat) d'elements és irrellevant; per exemple, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}.

Aquesta notació es pot fer un ús abusiu informalment dient alguna cosa com ara {gossos} per indicar el conjunt de tots els gossos, però aquest exemple normalment el llegirien els matemàtics com el conjunt que conté els 'gossos' d'un sol element.

Un exemple extrem (però correcte) d'aquesta notació és {{ }} , que denota el conjunt buit.

La notació {x: P(x)}, o de vegades {x |P(x)}, s'utilitza per denotar el conjunt que conté tots els objectes per als quals es compleix la condició P (conegut com a definició d'un conjunt intencionalment). Per exemple, {x | x ∈ R} denota el conjunt de nombres reals, {x | x té els cabells rossos} denota el conjunt de tot allò que té els cabells rossos.

Aquesta notació s'anomena notació de constructor de conjunts (o comprensió de conjunts, particularment en el context de la programació funcional). Algunes variants de la notació de constructor de conjunts són:

• {x ∈ A | P(x)} denota el conjunt de tots els x que ja són membres de A de manera que la condició P es compleix per a x. Per exemple, si Z és el conjunt d'enters parells, aleshores {x ∈ Z | x és parell} és el conjunt de tots els enters parells. (Vg. esquema d’axioma de separació.)
• {F(x) | x ∈ A} denota el conjunt de tots els objectes obtinguts posant membres del conjunt A a la fórmula F. Per exemple, {2x | x ∈ Z} és de nou el conjunt de tots els enters parells.
• {F(x) | P(x)} és la forma més general de notació de constructor de conjunts. Per exemple, {x és el propietari | x és un gos} és el conjunt de tots els propietaris de gossos.

Subconjunts

Donats dos conjunts A i B, A és un subconjunt de B si cada element de A és també un element de B. En particular, cada conjunt B és un subconjunt de si mateix; un subconjunt de B que no és igual a B s'anomena subconjunt propi.

Si A és un subconjunt de B, aleshores també es pot dir que B és un superconjunt d’A, que A està contingut a B o que B conté A. En símbols, A ⊆ B significa que A és un subconjunt de B, i B ⊇ A significa que B és un superconjunt d’A. Alguns autors utilitzen els símbols ⊂ i ⊃ per a subconjunts, i altres utilitzen aquests símbols només per a subconjunts propis. Per claredat, es poden utilitzar explícitament els símbols ⊊ i ⊋ per indicar la no-igualtat.

A tall d'il·lustració, sigui R' el conjunt dels nombres reals, sigui Z el conjunt dels enters, sigui O el conjunt dels enters imparells i sigui P el conjunt dels presidents actuals o anteriors dels EUA. Aleshores O és un subconjunt de Z, Z és un subconjunt de R i (per tant) O és un subconjunt de R, on en tots els casos el subconjunt es pot llegir fins i tot com un subconjunt propi. No tots els conjunts són comparables d'aquesta manera. Per exemple, tampoc no és cert que R sigui un subconjunt de P ni que P sigui un subconjunt de R.

De la definició d'igualtat de conjunts anterior es desprèn immediatament que, donats dos conjunts A i B, A = B si i només si A ⊆ B i B ⊆ A De fet, això es dóna sovint com a definició d'igualtat. Normalment, quan s'intenta demostrar que dos conjunts són iguals, es pretén mostrar aquestes dues inclusions. El conjunt buit és un subconjunt de cada conjunt (l'afirmació que tots els elements del conjunt buit també són membres de qualsevol conjunt A és vàcuament certa).

El conjunt de tots els subconjunts d'un conjunt A donat s'anomena conjunt potència d’A i es denota per $2^{A}$ o $P(A)$; la P de vegades està en una font de script: $\wp (A)$. Si el conjunt A té n elements, aleshores $P(A)$ tindrà $2^{n}$ elements.

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki, Elements of the History of Mathematics, John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1994.
• Keith J. Devlin, The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, NY, 1993.
• Frápolli, María J., 1991, "Is Cantorian set theory an iterative conception of set?". Modern Logic, v. 1 n. 4, 1991, 302–318.
• Frege, Gottlob. Grundgesetze der Arithmetik. 1, 1893. 
• Halmos, Paul. D. Van Nostrand Company. Naive Set Theory, 1960. 
  • Halmos, Paul. Springer-Verlag. Naive Set Theory, 1974. ISBN 0-387-90092-6. 
  • Halmos, Paul. D. Van Nostrand Company. Naive Set Theory, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4. 
• Jech, Thomas. Springer. Set theory, third millennium edition (revised and expanded), 2002. ISBN 3-540-44085-2. 
• Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reprinted with corrections, 1977. ISBN 0-674-32449-8.
• Meschkowski, Herbert; Nilson, Winfried. Springer. Georg Cantor: Briefe. Edited by the authors., 1991. ISBN 3-540-50621-7. 
• Peano, Giuseppe. Arithmetices Principies nova Methoda exposita, 1889. 
• Zermelo, Ernst. Springer. Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Edited by the author., 1932.