Test de comparació directa

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, el test de comparació directa (o simplement test de comparació) és un mètode per determinar la convergència o la divergència d'una sèria infinita o d'una integral impròpia. En tots dos casos, el mètode funciona comparant la sèrie en qüestió amb una de què ja es coneix la propietat de convergència.

Per sèries[modifica]

En càlcul, el test de comparació aplicat a sèries consisteix típicament en un parell d'afirmacions sobre sèries amb termes positius i reals:[1]

  • Si la sèrie infinita convergeix i per tot valor de n suficientment gran (és a dir, per tot per un valor fixat de N), llavors la sèrie infinita també convergeix.
  • Si la sèrie inifita divergeix i per tot valor de n suficientment gran, llavors la sèrie infinita també divergeix.

Noti's que la sèrie que té termes més grans s'anomena sovint que domina la sèrie de termes petits.[2]

Alternativament, el test es pot presentar amb termes de convergència absoluta, aplicant en aquest cas també als complexos:[3]

  • Si la sèrie infinita és absolutament convergent i per tot valor de n suficientment gran, llavors la sèrie inifinita també és absolutament convergent.
  • Si la sèrie inifinita no és absolutament convergent i per tot valor de n suficientment gran, llavors la sèrie infinita tampoc és absolutament convergent.

Noti's que en l'última afirmació, la sèrie podria, malgrat tot, continuar sent condicionalment convergent; per sèries de reals, això podria passsar si els valors de an no són sempre positius.

La segona parella d'afirmacions són equivalents són equivalents a la primera en el cas de sèries de reals, ja que convergeix si i només si , una sèrie amb termes no negatius, convergeix.

Demostració[modifica]

Les diferents demostracions de les anteriors afirmacions són similars. A continuació es presenta una demostració de la tercera afirmació.

Siguin i sèries inifinites tals que és absolutament convergent (és a dir, que convergeix), i sense pèrdua de generalitat assumeixi's que per tot n enter positiu. Es considerin les sumes parcials:

Com que convergeix absolutament, per un cert valor de . La successió és clarament no decreixent, és a dir que per tot n. Per tant, per tot n:

Això demostra que és una successió monòtona limitada i per tant a de convergir a un límit. Per aquesta raó, és absolutament convergent.

Per integrals[modifica]

El test de comparació per integrals es pot presentar com segueix, assumint que les funcions f i g són contínues en el conjunt dels reals en l'interval amb b o o un nombre real en què les funcions f i g tenen totes dues una asímptota:[4]

  • Si la integral impròpia convergeix i per , llavors la integral impròpia també convergeix amb
  • Si la integral impròpia divergeix i per , llavors la integral impròpia també divergeix.

Test de comparació de quocients[modifica]

Un altre test de convergència per sèries de nombres resals, similar tant al test de comparació directa com al criteri de d'Alembert, s'anomena test de comparació de quocients:[5]

  • Si la sèrie infinita convergeix i , , i per tot valor de n suficientment gran, llavors la sèrie infinita també convergeix.

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. Ayres & Mendelson (1999), p. 401.
  2. Munem & Foulis (1984), p. 662.
  3. Silverman (1975), p. 119.
  4. Buck (1965), p. 140.
  5. Buck (1965), p. 161.

Bibliografia[modifica]

  • Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott. Schaum's Outline of Calculus. 4th. Nova York: McGraw-Hill, 1999. ISBN 0-07-041973-6. 
  • Buck, R. Creighton. Advanced Calculus. 2nd. Nova York: McGraw-Hill, 1965. 
  • Knopp, Konrad. Infinite Sequences and Series. Nova York: Dover Publications, 1956. ISBN 0-486-60153-6. 
  • Munem, M. A.; Foulis, D. J.. Calculus with Analytic Geometry. 2nd. Worth Publishers, 1984. ISBN 0-87901-236-6. 
  • Silverman, Herb. Complex Variables. Houghton Mifflin Company, 1975. ISBN 0-395-18582-3. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N.. A Course in Modern Analysis. 4th. Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3.