Triangle de Tartaglia

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca
Cada nombre del triangle és la suma dels dos immediatament superiors.

El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis.

Mètode de construcció[modifica | modifica el codi]

Es comença amb un 1.


1

Després s'escriuen dos 1 a sota.

 1
1 1

A les següents files, els nombres són el resultat de sumar els dos nombres immediatament superiors. Els nombres situats als laterals, són sempre 1.

                                       1
                                    1     1
                                 1     2     1
                              1     3     3     1
                           1     4     6     4     1
                        1     5    10     10    5     1
                     1     6    15    20    15     6     1
                  1     7    21    35     35   21     7     1
               1     8    28    56    70    56    28     8     1
            1     9    36    84   126    126   84    36     9     1
         1    10    45   120   210   252   210   120    45    10     1

Propietats[modifica | modifica el codi]

El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.

  • En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dóna una potència de 2: . Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:[1]

  • En segon lloc, donat un binomi a+b elevat a n, pel binomi de Newton es dóna la relació següent:

El triangle de Tartaglia ens permet saber els valors que prenen els factors . En el triangle, podem buscar el coeficient binomial del desenvolupament de de la manera següent:

En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient és el terme i-èsim de la filera.

Exemples:

  • Les fileres de cada triangle són simètriques, ja que:
Triangle de Sierpinski
  • Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski. Aquesta similitud es veu encara més clara si considerem tan sols els múltiples de tres, de cinc, i en general, dels nombres primers.[cal citació]
  • Diagonals:
  • El nombre 3003 és l'únic que es coneix que apareix vuit vegades al triangle.

Història[modifica | modifica el codi]

El 1303 matemàtics xinesos ja tenien coneixement d'aquesta matriu triangular. Blaise Pascal el va redescobrir uns segles després.[2]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 Paulos, 1993, p. 287.
  2. 2,0 2,1 Paulos, 1993, p. 284.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Paulos, John Allen. Más allá de los números: meditaciones de un matemático. 1. ed.. Barcelona: Tusquets, 1993. ISBN 84-7223-687-0. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Triangle de Tartaglia Modifica l'enllaç a Wikidata