Usuari:Alex Gómez/Test de convergència de Cauchy

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

La prova de convergència del Cauchy és un mètode utilitzat per provar una sèrie infinita per convergència. Confia en un delimitador de sumes de termes en la sèrie. Aquest criteri de convergència és anomenat després que Augustin-Louis Cauchy  el va publicar dins el seu textbook Cours d'Analitzar 1821.[1]

Declaració[modifica]

Una sèrie

i = 0
                                                 un
         
                                             {\dsplaystyle \suma _{i=}^{\infty }_{i}}  és convergent si i només si per cada       
     
       
                0     {}  hi ha un número natural N tal aquell

Controls p ≥ 1er tot n > N N i p .[2]

Explicació[modifica]

Cauchy sequence illustration.svg
(a) The plot of a Cauchy sequence shown in blue, as versus If the space containing the sequence is complete, the "ultimate destination" of this sequence (that is, the limit) exists.
Cauchy sequence illustration2.svg
(b) A sequence that is not Cauchy. The elements of the sequence fail to get arbitrarily close to each other as the sequence progresses.

Les feines de prova perquè l'espacial R de números reals i l'espacial C de números complexos (amb el mètric donat pel valor absolut) és ambdós complet. Llavors la sèrie és convergent si i només si la suma parcial

n :=
                                 i             =
                     
         
                             
       
         
         
                                             {\displaystyle s_{n}:=\suma _{i=0}^{n}un_{i}}
 

Una seqüècia de número reals o complexos s n {\displaystyle s_{n}} és un Cauchy seqüència si i només si s n {\displaystyle s_{n}} convergeix (a alguns assenyalen un en R o C).Error de citació: Etiqueta <ref> no vàlida; les refs sense contingut han de tenir nom La definició formal declara que per cada


>


{\displaystyle \varepsilon 0} hi ha un número N, tal que per tot n, m > N controls


Assumirem m > n i per això conjunt p = m − n.

Mostrant que una seqüència és una Cauchy seqüència és útil de llavors ençà no necessitem per saber el límit de la seqüència en qüestió. La prova de convergència de Cauchy només pot ser utilitzat en espais mètrics complets (com R i C), els quals són espais on tot Cauchy seqüències convergeix. Necessitem espectacle únic que els seus elements esdevenen arbitràriament proper a cadascú i a altres després d'una progressió finita en la seqüència. Hi ha aplicacions d'ordinador del Cauchy seqüència, dins que un procés iteratiu pot ser instal·lat per crear tals seqüències.

Prova[modifica]

Podem utilitzar els resultats aproximadament de convergència de la seqüència de sumes parcials de la sèrie infinita i aplicar-los a la convergència de la sèrie infinita ell. La prova de Criteri del Cauchy és una tal aplicació. Per qualsevol seqüència real



{\displaystyle un_{k}} , el damunt resulta damunt la convergència que implica que la sèrie infinita

k =




                                             {\displaystyle \suma _{k=1}^{\infty }un_{k}}
 

Convergeix si i només si per cada



{} hi ha un número N, tal aquell

m ≥ n ≥ N Implica

} .Error de citació: Etiqueta <ref> no vàlida;

les refs sense contingut han de tenir nom Probablement la part més interessant de [aquest teorema] és que el Cauchy és una condició que  implica l'existència del límit: això és de fet relacionat a la completesa de la línia real. Els criteris del Cautchy poden ser generalitzats a una varietat de situacions, els quals poden tot ser vagament resumits com "una oscil·lació de fuga la condició és equivalent a convergència".[3]

Plantilla:PlanetMath attribution Plantilla:PlanetMath attribution en Plantilla:PlanetMath attribution, el qual és llicenciat sota el Creatiu Commons Participació/d'Atribució-Llicència Semblant.Plantilla:PlanetMath attribution

Referències[modifica]

  1. cf. the answer to the question “Origin of Cauchy convergence test“ of the Q&A website “History of Science and Mathematics”
  2. Abbott, Stephen (2001).
  3. Encyclopedia of Mathematics. «Cauchy Criteria». European Mathematical Society. [Consulta: 4 març 2014].