Usuari:Brill/proves/Equació general còniques

    De Viquipèdia

    Equacions generals[modifica]

    Còniques amb centre[modifica]

    Si l'equació de la cònica és homogènia, això és, de la forma

    aleshores, el punt és de la cònica si, i només si, ho és el punt i la cònica té simetria central, amb centre al punt . Per tant, si la cònica té centre al punt , ha d'haver-hi un canvi de coordenades:

    que transformi l'equació general en una equació homogènia. Ha de ser:

    que, després d'operar dóna:

    El punt és, doncs, la solució del sistema lineal

    amb solució única si

    Amb discriminant no nul[modifica]

    La quantitat es diu el discriminant de la cònica i el seu signe en determina el caràcter. De moment, el sistema és compatible i determinat, cosa que implica que la cònica té centre i és, o bé una el·lipse, o bé una hipèrbola. Si posem l'equació quedarà així:

    Amb discriminant nul[modifica]

    Si i el sistema és incompatible, la cònica no té centre.

    Si , algun dels coeficients o no és zero (si ho fossin tots dos, també ho seria i l'equació es reduiria a , és a dir, a la d'una recta) i el sistema no és incompatible, sinó indeterminat, ha de ser

    Per a , i l'equació queda

    o sigui

    i, aleshores, si tenim la recta i, si no hi ha cònica real. Per a , i l'equació queda

    amb els mateixos resultats segons el signe de .

    Posició canònica[modifica]

    Si a l'equació de la cònica centrada a l'origen:

    és , aleshores, si el punt és de la cònica, també ho són els punts , i i els eixos de coordenades són eixos de simetria de la cònica. Ara veurem com amb una rotació de les coordenades amb angle ,

    podem aconseguis una equació del tipus

    Ha de ser:

    que, després d'operar, dóna:

    Aleshores cal exigir

    o sigui,

    és a dir,

    i com que

    resulten dos valors possibles per a :

    tot posant els eixos de simetria de la cònica respectivament sobre els eixos de coordenades "" i "", o bé sobre els eixos "" i "".

    Observem que si , l'equació queda

    Còniques sense centre[modifica]

    Si la cònica

    no té centre és perquè .

    Casos particulars i vèrtexs[modifica]

    Si o , aleshores . Els coeficients i no poden ser simultàniament zero, perquè, aleshores, l'equació és de grau 1 i és la d'una recta.

    En els casos i es tracta d'equacions de segon grau amb una incògnita amb dues, una, o cap solució si, respectivament, o és més gran, igual o més petit que zero. La cònica consisteix en dues rectes paral·leles a l'eix "" en el cas , o a l'eix "" en el cas , que poden ser coïncidents o imaginàries, segons el nombre de solucions diferents de l'equació.

    En els casos i una incògnita es pot expressar coma funció polinòmica de segon grau de l'altra incògnita i es tracta, doncs, de paràboles, amb eix de simetria paral·lel a l'eix "" en el cas , i amb eix de simetria paral·lel a l'eix "" en el cas .

    Si el vèrtex és en el punt , el canvi de coordenades

    portarà aquest vèrtex a l'origen i la nova equació serà

    Tenim

    i ha de ser:

    i, després de la translació, les equacions queden

    i, en la forma més clàssica,

    Es tracta, doncs, de paràboles amb el vèrtex a l'origen de coordenades, amb l'eix "" i l'eix "" respectivament, com a eix de simetria.

    Cas general[modifica]

    Estudiem el cas , i, conseqüentment, . Si multipliquem l'equació per queda

    Fem ara la mateixa rotació de les coordenades, amb angle , tot intentant fer desaparèixer el terme ,

    Queda:

    i ha de ser

    amb dues possibilitats per a la rotació:

    Observem que, com en cas de les còniques amb centre, .

    Però no només hem aconseguit eliminar el termes en , sinó que en dependència de si s'escull l'angle o per fer la rotació, també s'elimina un dels termes en o respectivament. En cadascun dels casos l'equació queda:

    o sigui, de la forma

    Hem aribat, doncs, als casos i del paràgraf anterior: es tracta de paràboles, amb eix de simetria paral·lel a l'eix "" en el primer cas, i amb eix de simetria paral·lel a l'eix "" en el segon cas que poden traslladar-se fàcilment de manera que el vèrtex estigui a l'origen de coordenades, per obtenir una d'aquestes equacions reduïdes: