Usuari:Mcapdevila/Diferència finita

Una diferència finita és una expressió matemàtica de la forma f ( x + b ) - f ( x + a ). Si una diferència finita es divideix per b - a s'obté una expressió similar al quocient diferencial, que difereix en el fet que s'empren quantitats finites en comptes d'infinitesimals. L'aproximació de les derivades per diferències finites té un paper central en els mètodes de diferències finites de l'anàlisi numèrica per a la resolució equacions diferencials.

Diferències anterior, posterior i central

Diferències finites.

Només es consideren normalment tres formes: l'anterior, la posterior i la central.

Una diferència progressiva, avançada o posterior és una expressió de la forma

$\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).\$

Depenent de l'aplicació, l'espaiat h es manté constant o es pren el límit h → 0.

Una diferència regressiva , endarrerida o anterior és de la forma

$\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).\$

Finalment, la diferència central és la mitjana de les diferències anteriors i posteriors. Ve donada per

$\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).\$

Relació amb les derivades

La derivació de la funció f en un punt x està definida pel límit

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

Si h té un valor fixat no nul, en lloc d'aproximar a zero, el terme de la dreta es converteix en

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.$

Per tant, la diferència anterior dividida per h s'aproxima a la derivada quan h és petit. L'error d'aquesta aproximació pot derivar-se del teorema de Taylor. Assumint que f és contínuament diferenciable, l'error és

${\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0).$

La mateixa fórmula és vàlida en la diferència posterior:

${\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h).$

No obstant això, la diferència central porta a una aproximació més ajustada. El seu error és proporcional al quadrat de l'espaiat (si f és dues vegades contínuament diferenciable).

${\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).\!$

Càlcul de diferències finites

La diferència anterior pot considerar-se un operador diferencial que fa correspondre la funció f amb Δ f . El teorema de Taylor pot expressar per la fórmula

$\Delta _{h}=hd+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {i} ^{HD}-1,$

On D denota l'operador derivada, que fa correspondre $f\,$ amb la seva derivada $f\,'$, és a dir, $Du=u'\,,D^{2}u=u''\,,D^{3}o=o'''\,,...$

Formalment, invertint l'exponencial,

$Hd=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\frac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}+\cdots .\,$

Aquesta fórmula segueix sent vàlida en el sentit que tots dos operadors donen el mateix resultat quan s'apliquen a un polinomi. Fins i tot per a funcions analítiques, les sèries de la dreta no convergeixen amb seguretat, sinó que pot tractar d'una sèrie asimptòtica. No obstant això, poden emprar-se per obtenir aproximacions més precises de la derivada. Per exemple, Els dos primers termes de la sèrie porten a:

$F'(x)\approx {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}.$

L'error de l'aproximació és de l'ordre de h ² .

Les fórmules anàlogues per als operadors posterior i central són

$Hd=-\log(1-\nabla _{h})\quad {\mbox{and}}\quad hd=2\,\operatorname {arsinh} ({\tfrac {1}{2}}\delta _{h}).$

Derivades d'ordres majors

De forma anàloga es poden obtenir aproximacions en diferències finites per derivades d'ordre major i operadors diferencials. Per exemple usant la fórmula de la diferència central mostrada anteriorment amb un espaiat de $h/2$ per $f\,'(x+h/2)$ i $f\,'(xh/2)$ i aplicant la fórmula de diferència central a la derivada de $f\,'$ en x , obtenim l'aproximació de la diferència central de la segona derivada de f :

$F''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}.$

Mètodes de diferències finites

Un altre aspecte important és que les diferències finites aproximen quocients diferencials a mesura que h s'acosta a zero. Així que es poden usar diferències finites per aproximar derivades. Aquesta tècnica s'empra sovint en anàlisi numèrica, especialment en equacions diferencials numèriques ordinàries, equacions en diferències i equació en derivades parcials. Els mètodes resultants reben el nom de mètodes de diferències finites .

Les aplicacions habituals dels mètodes de diferències finites són en els camps de la computació i àrees de l'enginyeria com enginyeria tèrmica o mecànica de fluids.

Vegeu també

• Quocient diferencial
• Sèrie de Newton
• Teorema de Taylor
• Transformació binomial
• Fórmula de Faulhaber
• Derivació Numèrica

Referències

• William F. Ames, Numerical Method for Partial Differential Equations , Section 1.6. Academic Press, New York, 1977. ISBN 0-12-056760-1.
• Francis B. Hildebrand, Finite-Difference Equations and Simulations , Section 2.2. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1968.

Bibliografia complementària

• Boole, George, A Treatise On The Calculus of Finite Differences , 2a Ed., Macmillan and Company, 1872. [També: Edició Dover de 1960].