Vibració d'una membrana circular

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Un dels possibles modes de vibració d'un pedaç de tambor ideal (mode seguint la notació descrita més endavant). Al final de l'article es mostren altres modes.

Una membrana elàstica sota tensió pot admetre vibracions transversals. Les propietats d'un pedaç de tambor ideal poden modelitzar-se amb les vibracions d'una membrana circular the gruix uniforme i subjecta a un marc rígid. A causa de les ressonàncies, a una certa freqüència de vibració (la freqüència de ressonància) la membrana pot emmagatzemar energia vibracional, amb la superfície oscil·lant en un patró característic d'ones estacionàries anomenat mode normal. Una membrana té infinits modes normals i el de menor freqüència s'anomena mode fonamental.

Una membrana pot vibrar d'infinites maneres, cadascuna depenent de la forma de la membrana en un cert instant inicial i la velocitat transversal de cada punt de la membrana en aquest instant. Les vibracions de la membrana vénen donades per les solucions de l'equació d'ona en dues dimensions amb condicions de vora de Dirichlet que representen la restricció al marc. Es pot demostrar que qualsevol vibració arbitrària de la membrana es pot descompondre en una sèrie, possiblement infinita, de modes normals de la membrana. Aquest resultat és anàleg a la descomposició d'una senyal temporal en sèries de Fourier

Motivació[modifica]

L'anàlisi de la vibració d'un pedaç de tambor explica el comportament d'instruments de percussió com els tambors o les timbales. Tanmateix, també té aplicacions en biologia en el funcionament del timpà. Des d'un punt de vista education, els modes d'un objecte bidimensional són una forma visual d'explicar el significat dels modes, nodes, antinodes i fins i tot els nombres quàntics. Aquests conceptes són importants per entendre l'estructura de l'àtom.

Descripció del problema[modifica]

Consideri's un disc obert de radi centrat a l'origen, que representarà la membrana en repòs. A qualsevol temps l'alçada de la membrana a un punt mesurat des de la posició de repòs es pot denotar com que pot prendre valors tan positius com negatius. Sigui la frontera de o sigui, la circumferència de radi centrada a l'origen, que representa el marc rígid que subjecta la membrana.

L'equació matemàtica que governa la vibració de la membrana és l'equació d'ona amb condició de vora de Dirichlet homogènia,

Degut a la geometria circular de la membrana, serà convenient utilitzar coordenades cilíndriques, En aquest cas, les equacions anteriors es poden escriure com

Ara, és una constant positiva, que dóna la velocitat a la qual una ona transversal es propaga per la membrana. En termes dels paràmetres físics del sistema, la velocitat d'ona ve donada per

on , és la força radial resultant a la vora de la membrana (), , és el gruix de la membrana, i és la densitat de la membrana. Si la membrana té una tensió uniforme, la força de tensió a un cert radi ve donada per

on és la resultant de a la membrana en la direcció azimutal.

Cas radialment simètric[modifica]

Primer estudiarem els modes de vibració d'una membrana circular radialment simètrica. En aquest cas, la funció no depèn de l'angle i l'equació d'ona es redueix a

Buscarem solucions utilitzant separació de variables, Substituint aquesta expressió a l'equació anterior i dividint ambdós costats de la igualtat per s'obté

El costat esquerre de l'equació no depèn de i el costat dret no depèn de de manera que ambdós costats han de ser iguals a una constant D'aquesta manera, obtenim equations separates per i :

L'equació per té solucions que creixen o decauen exponencialment per són lineals o constants per i són periòdiques per . Físicament, és d'esperar que una solució al problema de la vibració d'una membrana circular serà oscil·latòria en el temps, per tant l'únic cas possible és el tercer, on Llavors, és combinació lineal de sinus i cosinus

Estudiant ara l'equació per i utilitzant que totes les solucions d'aquesta equació diferencial de segon ordre són combinació lineal de funcions de Bessel d'ordre 0, ja que aquest és un cas particular de l'equació diferencial de Bessel:

La funció de Bessel és no acotada quan el que donaria un resultat físicament impossible per la vibració d'una membrana, de manera que la constant ha de ser nul·la. Podem suposar que ja que en cas contrari aquesta constant pot ser absorbida per les constants i de D'aquesta manera s'obté

La condició que l'alçada ha de ser zero a la vora de la membrana dóna la condició

La funció de Bessel té un nombre infinit d'arrels positives,

així doncs per i d'aquesta manera

Per tant, les solucions radialment simètriques de la vibració d'una membrana circular es poden representar mitjançant separació de variables com

on

Cas general[modifica]

El cas general, on també pot dependre de l'angle es resol de manera similar. Suposem que la solució admet separació de variables,

Substituint en l'equació d'ona i separant les variables s'obté

on és una constant. Igual que abans, de l'equació de es dedueix que amb i

De l'equació

s'obté, multiplicant ambdós costant per i separant les variables, que

i

per alguna constant Com que és periòdica, amb període on és una variable angular, se segueix que

on i i són constants. Això també implica que

Tornant a l'equació per la seva solució és combinació lineal de funcions de Bessel i Utilitzant un raonament similar al de l'apartat anterior obtenim

on amb la -èsima arrel positiva de

Per tant, hem demostrat que totes les solucions en variables separades del problema de vibració d'una membrana circular tenen la forma

per

Animacions dels modes de vibració[modifica]

A continuació es mostren alguns dels primers modes juntament amb els seus nombres quàntics. Les funcions d'ona anàlogues per l'àtom d'hidrogen també s'indiquen així com les freqüències angulars associades .

Enllaços externs[modifica]