Constant de Cahen

En matemàtiques, la constant de Cahen es defineix com una sèrie infinita de fraccions unitàries, amb signes alterns, derivades de la successió de Sylvester:

$C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.64341054629.$

Si s'agrupen aquestes fraccions en parelles, es pot considerar la constant de Cahen com una sèrie de fraccions unitàries positives formades a partir dels termes en els llocs parells de la successió de Sylvester. Aquesta sèrie és un exemple d'algorisme voraç per a fraccions egípcies:

$C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots$

Aquesta constant rep el seu nom per Eugène Cahen (també conegut per la integral de Cahen-Mellin), que va ser el primer a formular i investigar la sèrie (Cahen 1891).

Se sap que la constant de Cahen és transcendent (Davison and Shallit 1991), i és un dels pocs nombres transcendents construïts de manera natural l'expansió en forma de fracció contínua de la qual es coneix íntegrament: si es forma la successió

1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ...

definida per la recurrència

$q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}$

llavors l'expansió en forma de fracció contínua de la constant de Cahen és

$[0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]$

(Davison i Shallit 1991).

Referències

• Cahen, Eugène «Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues». Nouvelles Annales de Mathématiques, 10, 1891, p. 508–514.
• Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. «Continued fractions for some alternating series». Monatshefte für Mathematik, 111, 2, 1991, p. 119–126. DOI: 10.1007/BF01332350.

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Cahen's Constant» a MathWorld (en anglès).
• «The Cahen constant to 4000 digits». Plouffe's Inverter. Arxivat de l'original el 17 març 2011. [Consulta: 19 març 2011].
• «Cahen's constant (1,000,000 digits)». Darkside communication group (in Japan). [Consulta: 25 desembre 2017].