En matemàtiques aplicades i anàlisi matemàtica , la derivada fractal o derivada de Hausdorff és una generalització no newtoniana de la derivada que tracta de la mesura de fractals , definida en geometria fractal. Les derivades fractals es van crear per a l'estudi de la difusió anòmala, per la qual els enfocaments tradicionals no tenen en compte la naturalesa fractal dels mitjans. Una mesura fractal
t
{\displaystyle t}
s'escala segons
t
α
{\displaystyle t^{\alpha }}
. Aquesta derivada és local, en contrast amb la derivada fraccional aplicada de manera similar. El càlcul fractal es formula com un càlcul generalitzat de l'estàndard.
Els medis porosos , els aqüífers , les turbulències i altres medis solen presentar propietats fractals . Les lleis clàssiques de difusió o dispersió basades en camins aleatoris a l'espai lliure (essencialment el mateix resultat conegut com a lleis de difusió de Fick , llei de Darcy i llei de Fourier ) no són aplicables als mitjans fractals. Per abordar això, s'han de redefinir conceptes com la distància i la velocitat per als mitjans fractals; en particular, les escales d'espai i temps s'han de transformar segons (
x
β
{\displaystyle x^{\beta }}
,
t
α
{\displaystyle t^{\alpha }}
). Els conceptes físics elementals com ara la velocitat es redefineixen de la següent manera per a l'espaitemps fractal (
x
β
{\displaystyle x^{\beta }}
,
t
α
{\displaystyle t^{\alpha }}
):
v
′
=
d
x
′
d
t
′
=
d
x
β
d
t
α
,
α
,
β
>
0
{\displaystyle v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx^{\beta }}{dt^{\alpha }}}\,,\quad \alpha ,\beta >0}
,
on
S
α
,
β
{\displaystyle S^{\alpha ,\beta }}
representa l'espaitemps fractal amb índexs d'escala
α
{\displaystyle \alpha }
i
β
{\displaystyle \beta }
. La definició tradicional de velocitat no té sentit en l'espaitemps fractal no diferenciable.
A partir de la discussió anterior, el concepte de derivada fractal d'una funció
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
respecte a una mesura fractal
t
{\displaystyle t}
s'ha introduït de la següent manera:
∂
f
(
t
)
∂
t
α
=
lim
t
1
→
t
f
(
t
1
)
−
f
(
t
)
t
1
α
−
t
α
,
α
>
0
{\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0}
,
Una definició més general ve donada per
∂
β
f
(
t
)
∂
t
α
=
lim
t
1
→
t
f
β
(
t
1
)
−
f
β
(
t
)
t
1
α
−
t
α
,
α
>
0
,
β
>
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{\beta }f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f^{\beta }(t_{1})-f^{\beta }(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0,\beta >0}
.
Per a la funció
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
al
F
α
{\displaystyle F^{\alpha }}
-conjunt fractal perfecte
F
{\displaystyle F}
, la derivada fractal o
F
α
{\displaystyle F^{\alpha }}
-derivada respecte
t
{\displaystyle t}
, es defineix per
D
F
α
y
(
t
)
=
{
F
−
l
i
m
x
→
t
y
(
x
)
−
y
(
t
)
S
F
α
(
x
)
−
S
F
α
(
t
)
,
s
i
t
∈
F
;
0
,
en altres casos.
{\displaystyle D_{F}^{\alpha }y(t)=\left\{{\begin{array}{ll}{\underset {x\rightarrow t}{F_{-}lim}}~{\frac {y(x)-y(t)}{S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t)}},&si~t\in F;\\0,&{\text{en altres casos.}}\end{array}}\right.}
.
Les derivades d'una funció
f
{\displaystyle f}
es poden definir en termes dels coeficients
a
k
{\displaystyle a_{k}}
en el desenvolupament de la sèrie de Taylor :
f
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
a
k
⋅
(
x
−
x
0
)
k
=
∑
k
=
1
∞
1
k
!
d
k
f
d
x
k
(
x
0
)
⋅
(
x
−
x
0
)
k
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
⋅
(
x
−
x
0
)
+
o
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cdot (x-x_{0})^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})}
D'aquest enfocament es pot obtenir directament:
f
′
(
x
0
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
−
o
(
x
−
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle f'(x_{0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}}
Això es pot generalitzar aproximant
f
{\displaystyle f}
amb funcions
(
x
α
−
(
x
0
)
α
)
k
{\displaystyle (x^{\alpha }-(x_{0})^{\alpha })^{k}}
:
f
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
b
k
⋅
(
x
α
−
x
0
α
)
k
=
f
(
x
0
)
+
b
1
⋅
(
x
α
−
x
0
α
)
+
o
(
x
α
−
x
0
α
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{k}=f(x_{0})+b_{1}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })+o(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })}
nota: el coeficient d'ordre més baix encara ha de ser
b
0
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle b_{0}=f(x_{0})}
, ja que encara és l'aproximació constant de la funció
f
{\displaystyle f}
en
x
0
{\displaystyle x_{0}}
.
De nou es pot obtenir directament:
b
1
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
α
−
x
0
α
=
d
e
f
d
f
d
x
α
(
x
0
)
{\displaystyle b_{1}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{df \over dx^{\alpha }}(x_{0})}
La sèrie fractal Maclaurin de
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
amb suport fractal
F
{\displaystyle F}
és la següent:
f
(
t
)
=
∑
m
=
0
∞
(
D
F
α
)
m
f
(
t
)
|
t
=
0
m
!
(
S
F
α
(
t
)
)
m
{\displaystyle f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(D_{F}^{\alpha })^{m}f(t)|_{t=0}}{m!}}(S_{F}^{\alpha }(t))^{m}}
Desenvolupament de coeficients [ modifica ]
Igual que en el desenvolupament de la sèrie de Taylor , els coeficients
b
k
{\displaystyle b_{k}}
es poden expressar en termes de les derivades fractals d'ordre
k
{\displaystyle k}
de
f
{\displaystyle f}
:
b
k
=
1
k
!
(
d
d
x
α
)
k
f
(
x
=
x
0
)
{\displaystyle b_{k}={1 \over k!}{\biggl (}{d \over dx^{\alpha }}{\biggr )}^{k}f(x=x_{0})}
Connexió amb la derivada [ modifica ]
Si per a una funció donada
f
{\displaystyle f}
existeixen tant la derivada
D
f
{\displaystyle {Df}}
com la derivada fractal
D
α
f
{\displaystyle {D\alpha f}}
, es pot trobar un anàleg a la regla de la cadena :
d
f
d
x
α
=
d
f
d
x
d
x
d
x
α
=
1
α
x
1
−
α
d
f
d
x
{\displaystyle {df \over dx^{\alpha }}={df \over dx}{dx \over dx^{\alpha }}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }{df \over dx}}
L'últim pas està motivat pel teorema de la funció implícita que, en condicions adequades, ens dóna
d
x
d
x
α
=
d
x
α
d
x
−
1
{\displaystyle {dx \over dx\alpha }={dx\alpha \over dx}-1}
De la mateixa manera per a la definició més general:
d
β
f
d
α
x
=
d
(
f
β
)
d
α
x
=
1
α
x
1
−
α
β
f
β
−
1
(
x
)
f
′
(
x
)
{\displaystyle {d^{\beta }f \over d^{\alpha }x}={d(f^{\beta }) \over d^{\alpha }x}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)}
Aplicació en difusió anòmala [ modifica ]
Derivada fractal per a la funció
f
(
t
)
=
t
{\displaystyle f(t)=t}
, amb ordre de derivada α ∈ (0,1]
Com a enfocament de modelització alternativa a la segona llei de Fick clàssica, la derivada fractal s'utilitza per derivar una equació lineal de transport-difusió anòmala subjacent al procés de difusió anòmal ,
d
u
(
x
,
t
)
d
t
α
=
D
∂
∂
x
β
(
∂
u
(
x
,
t
)
∂
x
β
)
,
−
∞
<
x
<
+
∞
,
(
1
)
{\displaystyle {\frac {du(x,t)}{dt^{\alpha }}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}}\right),-\infty <x<+\infty \,,\quad (1)}
u
(
x
,
0
)
=
δ
(
x
)
.
{\displaystyle u(x,0)=\delta (x).}
on 0 < α < 2, 0 < β < 1, i δ (x ) és la funció delta de Dirac .
Per obtenir la solució fonamental , apliquem la transformació de variables
t
′
=
t
α
,
x
′
=
x
β
.
{\displaystyle t'=t^{\alpha }\,,\quad x'=x^{\beta }.}
aleshores l'equació (1) es converteix en l'equació de la forma de difusió normal, la solució de (1) té la forma gaussiana estirada:
u
(
x
,
t
)
=
1
2
π
t
α
e
−
x
2
β
4
t
α
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t^{\alpha }}}}}e^{-{\frac {x^{2\beta }}{4t^{\alpha }}}}}
El desplaçament quadràtic mitjà de l'equació de difusió derivada fractal anterior té la asímptota :
⟨
x
2
(
t
)
⟩
∝
t
(
3
α
−
α
β
)
/
2
β
.
{\displaystyle \left\langle x^{2}(t)\right\rangle \propto t^{(3\alpha -\alpha \beta )/2\beta }.}
Càlcul fractal-fraccional [ modifica ]
La derivada fractal està connectada a la derivada clàssica si existeix la primera derivada de la funció investigada. En aquest cas,
∂
f
(
t
)
∂
t
α
=
lim
t
1
→
t
f
(
t
1
)
−
f
(
t
)
t
1
α
−
t
α
=
d
f
(
t
)
d
t
1
α
t
α
−
1
,
α
>
0
{\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^{\alpha -1}}},\quad \alpha >0}
.
Tanmateix, a causa de la propietat de derivabilitat d'una integral , les derivades fraccionals són derivables, per la qual cosa es va introduir el següent concepte nou.
Els següents operadors diferencials es van introduir i aplicar molt recentment. Suposant que
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
és contínua i diferenciable fractal en
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
amb ordre
β
{\displaystyle \beta }
, diverses definicions d'una derivada fractal fraccional de
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
es mantenen amb ordre
α
{\displaystyle \alpha }
en el sentit de Riemann-Liouville:
Tenir un nucli de tipus llei de potència:
F
F
P
D
0
,
t
α
,
β
(
y
(
t
)
)
=
1
Γ
(
m
−
α
)
d
d
t
β
∫
0
t
(
t
−
s
)
m
−
α
−
1
y
(
s
)
d
s
{\displaystyle ^{FFP}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}(t-s)^{m-\alpha -1}y(s)ds}
Tenir un nucli de tipus en decaïment exponencial:
F
F
E
D
0
,
t
α
,
β
(
y
(
t
)
)
=
M
(
α
)
1
−
α
d
d
t
β
∫
0
t
exp
(
−
α
1
−
α
(
t
−
s
)
)
y
(
s
)
d
s
{\displaystyle ^{FFE}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {M(\alpha )}{1-\alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }}(t-s){\Big )}y(s)ds}
,
Tenint un nucli de tipus Mittag-Leffler generalitzat:
a
F
F
M
D
t
α
f
(
t
)
=
A
B
(
α
)
1
−
α
d
d
t
β
∫
a
t
f
(
τ
)
E
α
(
−
α
(
t
−
τ
)
α
1
−
α
)
d
τ
.
{\displaystyle {}_{a}^{FFM}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt^{\beta }}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.}
Els operadors diferencials anteriors tenen cadascun associat un operador integral fractal-fraccional, de la manera següent:
Nucli tipus llei de potència:
F
F
P
J
0
,
t
α
,
β
(
y
(
t
)
)
=
β
Γ
(
α
)
∫
0
t
(
t
−
s
)
α
−
1
s
β
−
1
y
(
s
)
d
s
{\displaystyle ^{FFP}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta }{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-s)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds}
Nucli de tipus en decaïment exponencial:
F
F
E
J
0
,
t
α
,
β
(
y
(
t
)
)
=
α
β
M
(
α
)
∫
0
t
s
β
−
1
y
(
s
)
d
s
+
β
(
1
−
α
)
t
β
−
1
y
(
t
)
M
(
α
)
{\displaystyle ^{FFE}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{M(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{M(\alpha )}}}
.
Nucli de tipus Mittag-Leffler generalitzat:
F
F
M
J
0
,
t
α
,
β
(
y
(
t
)
)
=
α
β
A
B
(
α
)
∫
0
t
s
β
−
1
y
(
s
)
(
t
−
s
)
α
−
1
d
s
+
β
(
1
−
α
)
t
β
−
1
y
(
t
)
A
B
(
α
)
{\displaystyle ^{FFM}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)(t-s)^{\alpha -1}ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}}}
.
FFM es refereix a fractal-fraccional amb el nucli generalitzat de Mittag-Leffler.
Càlcul fractal no local [ modifica ]
Anàleg fractal de la integral fraccional del costat dret de Riemann-Liouville d'ordre
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
de
f
{\displaystyle f}
es defineix per:
x
I
b
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
β
)
∫
x
b
f
(
t
)
(
S
F
α
(
t
)
−
S
F
α
(
x
)
)
1
−
β
d
F
α
t
{\displaystyle {x}{\mathcal {I}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t}
.
Anàleg fractal de la integral fraccional del costat esquerre de Riemann-Liouville d'ordre
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
de
f
{\displaystyle f}
es defineix per:
a
I
x
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
β
)
∫
a
x
f
(
t
)
(
S
F
α
(
x
)
−
S
F
α
(
t
)
)
1
−
β
d
F
α
t
.
{\displaystyle {a}{\mathcal {I}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t.}
Anàleg fractal de la derivada fraccional del costat dret de Riemann-Liouville d'ordre
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
de
f
{\displaystyle f}
es defineix per:
x
D
b
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
n
−
β
)
(
−
D
F
α
)
n
∫
x
b
f
(
t
)
(
S
F
α
(
t
)
−
S
F
α
(
x
)
)
−
n
+
β
+
1
d
F
α
t
{\displaystyle {x}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(-D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t}
Anàleg fractal de la derivada fraccional del costat esquerre de Riemann-Liouville d'ordre
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
de
f
{\displaystyle f}
es defineix per:
a
D
x
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
n
−
β
)
(
D
F
α
)
n
∫
a
x
f
(
t
)
(
S
F
α
(
x
)
−
S
F
α
(
t
)
)
−
n
+
β
+
1
d
F
α
t
{\displaystyle {a}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t}
Anàleg fractal de la derivada fraccional del costat dret de Caputo d'ordre
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
de
f
{\displaystyle f}
es defineix per:
x
C
D
b
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
n
−
β
)
∫
x
b
(
S
F
α
(
t
)
−
S
F
α
(
x
)
)
n
−
β
−
1
(
−
D
F
α
)
n
f
(
t
)
d
F
α
t
{\displaystyle {x}^{C}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{x}^{b}(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{n-\beta -1}(-D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t}
Anàleg fractal de la derivada fraccional del costat esquerre de Caputo d'ordre
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
de
f
{\displaystyle f}
es defineix per:
a
C
D
x
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
n
−
β
)
∫
a
x
(
S
F
α
(
x
)
−
S
F
α
(
t
)
)
n
−
β
−
1
(
D
F
α
)
n
f
(
t
)
d
F
α
t
{\displaystyle {a}^{C}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{a}^{x}(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{n-\beta -1}(D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t}
Atangana , Abdon; Sania , Qureshi «Modeling attractors of chaotic dynamical systems with fractal–fractional operators» (en anglès). Chaos, Solitons & Fractals , 123, 2019. Bibcode : 2019CSF...123..320A . DOI : 10.1016/j.chaos.2019.04.020 .
Chen , W. «Time–space fabric underlying anomalous diffusion» (en anglès). Chaos, Solitons and Fractals , 28(4), 2006, pàg. 923-929. arXiv : math-ph/0505023 . Bibcode : 2006CSF....28..923C . DOI : 10.1016/j.chaos.2005.08.199 .
Chen , W.; Sun , H.G.; Zhang , X.; Korosak , D. «Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives» (en anglès). Computers and Mathematics with Applications , 59(5), 2010, pàg. 1754-1758. DOI : 10.1016/j.camwa.2009.08.020 .
Cushman , J. H.; O'Malley , D.; Park , M. «Anomalous diffusion as modeled by a nonstationary extension of Brownian motion» (en anglès). Phys. Rev. E , 79(3), 2009, pàg. 032101. Bibcode : 2009PhRvE..79c2101C . DOI : 10.1103/PhysRevE.79.032101 . PMID : 19391995 .
Khalili Golmankhaneh , Alireza. Fractal Calculus and its Applications (en anglès). Singapur: World Scientific Pub Co Inc, 2022. DOI 10.1142/12988 . ISBN 978-981-126-110-7 .
Kanno , R. «Representation of random walk in fractal space-time» (en anglès). Physica A , 248(1), 248(2), 1998, pàg. 165-175. Bibcode : 1998PhyA..248..165K . DOI : 10.1016/S0378-4371(97)00422-6 .
Mainardi , F.; Mura , A.; Pagnini , G. «The M-Wright Function in Time-Fractional Diffusion Processes: A Tutorial Survey» (en anglès). International Journal of Differential Equations , 2010, 2010, pàg. 104505. arXiv : 1004.2950 . Bibcode : 2010arXiv1004.2950M . DOI : 10.1155/2010/104505 .
Sun , H. G.; Meerschaert , M. M.; Zhang , Y.; Zhu , J.; Chen , W. «A fractal Richards' equation to capture the non-Boltzmann scaling of water transport in unsaturated media» (en anglès). Advances in Water Resources , 52, 2013, pàg. 292-295. Bibcode : 2013AdWR...52..292S . DOI : 10.1016/j.advwatres.2012.11.005 . PMC : 3686513 . PMID : 23794783 .
Enllaços externs [ modifica ]