No havíem quedat al final que pels cossos usàvem la notació barrada?--Xtv (que dius que què?) 15:22, 8 jun 2006 (UTC)

Sí. Canvia-ho quan ho vegis. Per cert, em podries dir si l'article espai vectorial està correctament canviat de notació?--SMP (missatges) 16:12, 8 jun 2006 (UTC)

Si m'expliqueu què és això de la notació barrada per als cossos ja ho canviaré jo.--Fèlix 23:34, 8 jun 2006 (UTC)

La notació barrada, que en dic jo, és usar

\mathbb {C}

(<math>\mathbb{C}</math>) enlloc de la negreta C que fan servir a la versió anglesa (a la castellana em sembla que també fan servir la notació barrada, encara que en aquest article facin servir la negreta, i en canvi pels vectors fem servir la negrta com a l'anglesa enlloc de les fletxetes com a la castellana... bé, això és un acord al qual hem arribat en SMP i jo perquè ens ha semblat convenient, però es pot discutir). Ho corregiria jo però encara continuo amb l'ordinador espatllat i no tinc temps...--Xtv (que dius que què?) 10:41, 9 jun 2006 (UTC)

Ja he fet el canvi. Qualsevol suggeriment més... aquí estic.--Fèlix 14:17, 9 jun 2006 (UTC)

Funcions R-diferenciables d'una variable complexa[modifica]

Em sembla que la introducció de la noció de $\mathbb {R}$ -diferenciabilitat aclareix la noció de funció holomorfa : la holomorfia (altrament dit : la $\mathbb {C}$ -diferenciabilitat en un obert) és un cas particular de la $\mathbb {R}$ -diferenciabilitat.

Definició : diem que una aplicació $L:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $L:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ és $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ -lineal si : $\forall \,\alpha \in \mathbb {R} ,\forall \,\beta \in \mathbb {R} ,\forall \,z\in \mathbb {C} ,\forall \,w\in \mathbb {C} ,L(\alpha \,z+\beta \,w)=\alpha L(z)+\beta L(w)$ $\forall \,\alpha \in \mathbb {R} ,\forall \,\beta \in \mathbb {R} ,\forall \,z\in \mathbb {C} ,\forall \,w\in \mathbb {C} ,L(\alpha \,z+\beta \,w)=\alpha L(z)+\beta L(w)$ .
- (aleshores : $\forall u\in \mathbb {R} ,\,\forall v\in \mathbb {R} ,\,L(u+iv)=uL(1)+vL(i)$ )

Definició : sigui una funció $f:U\to \mathbb {C}$ $f:U\to \mathbb {C}$ definida en un subconjunt obert U de $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ ; diem que f és $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ -diferenciable en un punt $z_{0}\in U$ $z_{0}\in U$ si existeixen una aplicació $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ -lineal $L:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $L:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ i una funció $\epsilon$ $\epsilon$ d'una variable complexa tals que $f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)$ $f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)$ , i $\epsilon (h)\to 0$ $\epsilon (h)\to 0$ quan $h\to 0$ $h\to 0$ .
- Quan existeix, l'aplicació L és única (com a conseqüència de la propietat següent) ; s'anomena $\mathbb {R}$ -diferencial de f en $\ z_{0}$ i es denota habitualment $\ df(z_{0})$ .
- Diem que f és $\mathbb {R}$ -diferenciable en U si és $\mathbb {R}$ -diferenciable en tot punt de U.

Propietat : quan f és $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ -diferenciable en un punt $z_{0}\in U$ $z_{0}\in U$ , aleshores
- és contínua en $\ z_{0}$
- té derivades parcials primeres en $z_{0}$ , i ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=L(1)=df(z_{0})(1)$ , ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=L(i)=df(z_{0})(i)$ .

Caracterització de les funcions C-diferenciables d'una variable complexa[modifica]

Teorema :
- les funcions $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ -diferenciables en un punt $\ z_{0}\in U$ $\ z_{0}\in U$ son aquelles funcions $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ -diferenciables en $z_{0}$ $z_{0}$ que, a més a més, compleixen les equacions de Cauchy-Riemann en aquest punt. Aquelles equacions es poden escriure sota les formes equivalents següents :
  - $\ L(i)=i\,L(1)$ (altrament dit : L és $\mathbb {C}$ -lineal)
  - ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=i\,{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})$
  - ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})+i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=0$
- en aquest cas, la diferencial de f a $z_{0}$ és l'aplicació $L:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,h\mapsto f'(z_{0})\,h$
- Per consegüent : les funcions holomorfes en un obert U de $\mathbb {C}$ (o sigui $\mathbb {C}$ -diferenciables en tot punt de U) son aquelles funcions $\mathbb {R}$ -diferenciables en U que, a més a més, compleixen les equacions de Cauchy-Riemann en tot punt.

Vivarés 15:00, 28 jun 2006 (UTC)

Jo crec que aquest comentari, més que estar aquí, mereix un article propi. Pots afegir-ho a l'article de derivada o crear un article nou que es podria dir R-diferenciable. No crec que el cos del que aquí escrius s'hagi d'incorporar a l'article funció holomorfa tot i que quedaria molt bé una petita ressenya i/o un enllaç a l'article que et suggereixo que creis. Hi ha un petit error formal, però, i és que per a ser holomorfa una funció no només ha de ser

\mathbb {R}

-diferenciable i complir Cauchy-Riemann sinó que també ha de tenir les derivades parcials continues.--Fèlix 09:19, 28 jun 2006 (UTC)

He detallat una mica el comentari precedent. No hi ha "error" : mantinc el que afirmo (és elemental, i la demostració es pot trobar a qualsevol tractat d'anàlisi, per exemple : W. Rudin, Real and Complex Analysis). La continuitat de les derivades parcials és automàtica i no ha d'ésser postulada a priori : tota funció holomorfa té necessàriament derivades parcials contínues, i és infinitament derivable ; és una conseqüència sorprenent de la teoria de l'integral de Cauchy. Una diferència essencial amb la teoria de funcions reals és la següent :

hi ha funcions d'una variable real que tenen derivada primera en tot punt d'un subconjunt obert de R, i no tenen derivada segona en cap punt.
tota funció d'una variable complexa que té derivada primera en tot punt d'un subconjunt obert de C (altrament dit "holomorfa") és localment representable en tot punt per una sèrie de potències (és anomenada analítica), i a fortiori és infinitament derivable (cf. teoria de Cauchy).
- Hi ha funcions d'una variable real que són infinitament derivables en un subconjunt obert de R, i que no són localment representables en tot punt per una sèrie de potències (no són analítiques): algunes d'aquestes funcions són utilitzades com a funcions test en la teoria de distribucions.

(sóc professor de matemàtiques i he ensenyat tot això a França, en una escola d'enginyers ; tinc un doctorat en anàlisi complexa).

Efectivament, les meves observacions sobre R-diferenciabilitat no han de ser incorporades a l'article funció holomorfa, i seria desitjable de crear un article nou (però no ho faré : la meva coneixença de la llengua catalana no és suficient). Vivarés 11:22, 28 jun 2006 (UTC)

A veure si ens entenem... Sí que hi ha "error". Ja sé que la continuitat de les derivades parcials és automàtica en les funcions holomorfes (jo també he estudiat matemàtiques). Però el que has afirmat és una implicació inversa: que és suficient la R-diferenciabilitat i C-R per a que la funció sigui holomorfa. La R-diferenciabilitat i C-R no impliquen de cap manera ni que les derivades parcials siguin continues ni que la funció sigui holomorfa. M'alegro de que siguis doctor però això no t'eximeix de cometre errades. Salutacions.--Fèlix 11:17, 29 jun 2006 (UTC)

--- Ho dic una vegada més : no hi ha error (cf. demostració següent)

OK, tu guanyes. No hi ha error. El meu error ha estat pensar en la diferenciabilitat en un obert, no m'havia adonat de que et referies a la diferenciabilitat en un únic punt (i això que ho havies posat en negreta). Em disculpo per haver-te posat en dubte.--Fèlix 23:48, 29 jun 2006 (UTC)

Demostració de la caracterització precedent[modifica]

(incorporada a l'article Equacions de Cauchy-Riemann).

En conclusió, hem provat la primera afirmació : $\ f'(z_{0})$ existeix en UN punt $z_{0}\in U$ si i només si f és $\mathbb {R}$ -diferenciable en $\ z_{0}$ i compleix les equacions de Cauchy-Riemann en aquest mateix punt. Les altres afirmacions s'en dedueixen immediatament. Vivarés 16:36, 29 jun 2006 (UTC)

Una funció f R-diferenciable en C, que és C-diferenciable en 0, les derivades parcials primeres de la qual no són contínues en 0[modifica]

Sigui $\ z=x+iy$ (x, y reals) la variable complexa. Es defineix $\ f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ :

$f(z)=xy\sin {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ si $\ z\neq 0$
$\ f(0)=0$

(demostració incorporada a l'article Equacions de Cauchy-Riemann)

Evidentment, la funció precedent no és holomorfa en cap obert : se sap (i es dedueix immediatament de les equacions de Cauchy-Riemann) que una funció de valors reals i holomorfa en un obert hi és localment constant. Vivarés 14:13, 30 jun 2006 (UTC)

Vale, estic segur que ara ha quedat clarissim. A mi sí. Ja et vaig comentar que em vaig equivocar en pensar que parlaves de diferenciabilitat en oberts.

Crec que en lloc de gastar energies en una discussió que tampoc no vé massa a to sobre l'article del que se suposa que hauriem de parlar podries editar i/o crear algun article. A mi em sembla que el teu domini del català és excel·lent i si comets alguna errada ja hi haurà algú que s'ocupi de corregir-la. Pots comptar amb mi.--Fèlix 20:00, 30 jun 2006 (UTC)

Moltes gràcies. No penso que hagi gastat energies : quan ensenyo la teoria de funcions holomorfes, el capítol dedicat a les equacions de Cauchy-Riemann està constituït per les coses que he explicat aquí (derivades parcials, R-diferenciabilitat, C-diferenciabilitat, caracterització precedent) i unes quantes altres. Em sembla que tot això podria ser incorporat a l'article equacions de Cauchy-Riemann (penso que hauria de ser desenvolupat): l'article funció holomorfa ha de referir-s'hi. Vivarés 21:46, 30 jun 2006 (UTC)

He ampliat l'article Equacions de Cauchy-Riemann Vivarés 11:41, 5 jul 2006 (UTC)

Funcions holomorfes de diverses variables[modifica]

El paràgraf de la wikipedia anglo-saxona sobre funcions holomorfes de diverses variables no es seriós : una funció f contínua en un subconjunt obert U de $\mathbb {C} ^{n}\simeq \mathbb {R} ^{2n}$ és sempre "localment de quadrat integrable" (perquè l'integral de $\ f^{2}$ sobre un producte cartesià K d'intervals compactes tal que $K\subset U$ existeix necessàriament): aquesta condició és buida !
Es diu que una funció de valors complexos definida en un obert U de $\mathbb {C} ^{n}$ és holomorfa si és de classe $\ C^{1}$ en U i holomorfa separadament respecte a cada variable (i es pot substituir la condicion " $\ C^{1}$ " per la condició " $\ C^{0}$ " (continuïtat)).
No és raonable tractar de qüestions d'aquell nivell en un article elemental (valdria més tractar la teoria de l'integral de Cauchy de les funcions holomorfes d'una variable). Si algú vol fer un article específic sobre funció holomorfa de diverses variables, que ho faci, però em sembla prematur. Val més no dir res que escriure algunes línies que no ensenyaràn res a ningú : és massa o massa poc. Vivarés 11:41, 5 jul 2006 (UTC)

No entenc què hi pinta aquí una crítica a la wikipedia anglesa. Té alguna cosa a veure això que dius amb el nostre article català?--Fèlix 06:09, 11 jul 2006 (UTC)

funcions analítiques[modifica]

El concepte de funció analítica no es mereix un article separat? És un concepte que també es pot aplicar a funcions reals i, per exemple, és amb aquest sentit que s'enllaça a teorema de Taylor. --SMP (+ disc. xat) 20:10, 7 maig 2009 (CEST)[respon]