Funció de despesa

En microeconomia, la funció de despesa proporciona la quantitat mínima de diners que un individu necessita gastar per aconseguir algun nivell d'utilitat, donada una funció d'utilitat i els preus dels béns disponibles.

Formalment, si hi ha una funció d'utilitat $u$ que descriu les preferències sobre n mercaderies, la funció de despesa

$e(p,u^{*}):{\textbf {R}}_{+}^{n}\times {\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}$

diu quina quantitat de diners es necessita per aconseguir una utilitat $u^{*}$ si els n preus estan donats pel vector de preus $p$ . Aquesta funció està definida per

$e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq (u^{*})}p\cdot x$

on

$\geq (u^{*})=\{x\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(x)\geq u^{*}\}$

és el conjunt de tots els paquets que donen una utilitat almenys tan bona com $u^{*}$.

Expressat de manera equivalent, l'individu minimitza la despesa $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ subjecte a la limitació d'utilitat mínima que $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ donant quantitats òptimes per consumir dels diferents béns com $x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}$ en funció de $u^{*}$ i els preus; aleshores la funció de despesa és

$e(p_{1},\dots ,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+\dots +p_{n}x_{n}^{*}.$

Característiques de les funcions de despesa

(Propietats de la funció de despesa) Suposem que u és una funció d'utilitat contínua que representa una relació de preferència localment no saciada º sobre Rn +. Aleshores e(p, u) és

1. Homogeni de grau un en p: per a tots i $\lambda$ >0, $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$

2. Continua en $p$ i $u;$

3. No disminueix en $p$ i augmenta estrictament en $u$ per $p\gg 0;$

4. Còncava en $p$

5. Si la funció d'utilitat és estrictament quasi còncava, hi ha el lema de Shephard.

Prova

(1) Com en la proposició anterior, tingueu en compte que

$e(\lambda p,u)=\min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}$ $\lambda p\cdot x=\lambda \min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}$ $p\cdot x=\lambda e(p,u)$

(2) Continueu al domini $e$ : ${\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}$

(3) Sigui $p^{\prime }>p$ i suposant que $x\in h(p^{\prime },u)$. Aleshores $u(h)\geq u$, i $e(p^{\prime },u)=p^{\prime }\cdot x\geq p\cdot x$ . Se'n desprèn que $e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)$ .

Per a la segona afirmació, suposem al contrari que per a alguns $u^{\prime }>u$, $e(p,u^{\prime })\leq e(p,u)$ Que, per a alguns $x\in h(p,u)$, $u(x)=u^{\prime }>u$, que contradiu la conclusió de "sense excés d'utilitat" de la proposició anterior.

(4) Sigui $t\in (0,1)$ i suposant $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$ . Llavors, $p\cdot x\geq e(p,u)$ i $p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)$, tan $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$$te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)$ .

(5) ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$

Despesa i utilitat indirecta

La funció de despesa és la inversa de la funció d'utilitat indirecta quan els preus es mantenen constants. És a dir, per a cada vector preu $p$ i nivell d'ingressos $I$:

$e(p,v(p,I))\equiv I$

Hi ha una relació de dualitat entre la funció de despesa i la funció d'utilitat. Si es dona una funció d'utilitat quasi còncava regular específica, el preu corresponent és homogeni i la funció de despesa augmenta monòtonament, per contra, el preu donat és homogeni i la funció de despesa augmenta monòtonament la utilitat generarà la funció d'utilitat quasi còncava regular. A més de la propietat que els preus són una vegada homogenis i la utilitat augmenta monòtonament, la funció de despesa sol assumir

(1) és una funció no negativa, és a dir, $E(P\cdot u)>O;$

(2) Per a P, no és decreixent, és a dir, $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ ;

(3)E(Pu) és una funció còncava. Això és, $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$$O<\lambda <1p^{l}\geq O_{N}p^{2}\geq O_{N}$

La funció de despesa és un mètode teòric important per estudiar el comportament del consumidor. La funció de despesa és molt semblant a la funció de cost en la teoria de la producció. Dual al problema de maximització de la utilitat és el problema de minimització de costos

Exemple

Suposem que la funció d'utilitat és la funció de Cobb-Douglas $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ que genera les funcions de demanda

$x_{1}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},$

on $I$ és la renda del consumidor. Una manera de trobar la funció de despesa és trobar primer la funció d'utilitat indirecta i després invertir-la. La funció d'utilitat indirecta $v(p_{1},p_{2},I)$ es troba substituint les quantitats de la funció d'utilitat per les funcions de demanda així:

$v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {.4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}*.4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,$

on $K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ Llavors ja que $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ quan el consumidor optimitza, podem invertir la funció d'utilitat indirecta per trobar la funció de despesa:

$e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_{1}^{.6}p_{2}^{.4}u,$

Alternativament, la funció de despesa es pot trobar resolent el problema de minimitzar $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ subjecte a la restricció $u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.$ Això produeix funcions de demanda condicionals $x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ i $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ i la funció de despesa és llavors

$e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}$

Bibliografia addicional

• Mas-Colell, Andreu. Microeconomic Theory, 2007, p. 59–60. ISBN 0-19-510268-1. 
• Mathis, Stephen A. Microeconomic Theory: An Integrated Approach. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002, p. 132–133. ISBN 0-13-011418-9. 
• Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. Second. New York: W. W. Norton, 1984, p. 121–123. ISBN 0-393-95282-7. 

Vegeu també

• Problema de minimització de la despesa
• Funció de demanda hicksiana
• Equació de Slutski
• Problema de maximització de la utilitat
• Limitació pressupostària
• Conjunt de consum
• Lema de Shephard