Funció gamma inversa

La gràfica de la funció 1/Γ(x) al llarg de l'eix real.

Funció gamma inversa 1/Γ(z) al pla complex. El color d'un punt z codifica el valor de 1/Γ(z). Els colors forts denoten valors prop de zero i el matís codifica l'argument del valor.

En matemàtiques, la funció gamma inversa és la funció:

$f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},$

on $\Gamma (z)$ denota la funció gamma. Atès que la funció gamma és meromorfa i no és zero a tot el pla complex, la seva inversa és una funció entera. Com a funció entera, és de l'ordre 1 (és a dir, que el $loglog\left\vert {\frac {1}{\Gamma (z)}}\right\vert$ no creix més ràpid que el $log\left\vert \Gamma (z)\right\vert$), però de tipus infinit (el que significa que $log\left\vert {\frac {1}{\Gamma (z)}}\right\vert$ creix més ràpid que qualsevol múltiple de $\left\vert z\right\vert$, ja que el seu creixement és aproximadament proporcional a $\left\vert z\right\vert log\left\vert z\right\vert$ al pla esquerre).

Aquesta funció inversa s'utilitza de vegades com a punt de partida per a la computació numèrica de la funció gamma, i algunes biblioteques de programari la proporcionen per separat de la funció gamma regular.

Karl Weierstrass va anomenar la funció gamma inversa «factorial» i la va utilitzar en el seu desenvolupament del teorema de factorització de Weierstrass.

Desenvolupament en producte infinit

Seguint les definicions de producte infinit per a la funció gamma, segons Euler i Weierstrass, respectivament, obtenim el següent desenvolupament en producte infinit per a la funció gamma inversa:

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}$

on $\gamma \approx 0,577216...$ és la constant d'Euler-Mascheroni. Aquests desenvolupaments són vàlids per a tots els nombres complexos z.

Sèries de Taylor

Es produeix un desenvolupament de la sèrie de Taylor al voltant de $0$

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots$

on $\gamma$ és la constant d'Euler-Mascheroni. Per a $k>2$, el coeficient $a_{k}$ per al terme $z^{k}$ es pot calcular recursivament com

$a_{k}={\frac {a_{2}a_{k-1}-\sum _{j=2}^{k-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{k-j}}{k-1}}$

on $\zeta (s)$ és la funció zeta de Riemann. Fekih-Ahmed va trobar recentment una representació integral per a aquests coeficients:

$a_{k}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\Im [(\log(t)-i\pi )^{n}]dt.$

Per a valors petits, aquesta dona els següents valors:

k	ak
1	+1.0000000000000000000000000000000000000000
2	+0.5772156649015328606065120900824024310422
3	−0.6558780715202538810770195151453904812798
4	−0.0420026350340952355290039348754298187114
5	+0.1665386113822914895017007951021052357178
6	−0.0421977345555443367482083012891873913017
7	−0.0096219715278769735621149216723481989754
8	+0.0072189432466630995423950103404465727099
9	−0.0011651675918590651121139710840183886668
10	−0.0002152416741149509728157299630536478065
11	+0.0001280502823881161861531986263281643234
12	−0.0000201348547807882386556893914210218184
13	−0.0000012504934821426706573453594738330922
14	+0.0000011330272319816958823741296203307449
15	−0.0000002056338416977607103450154130020573
16	+0.0000000061160951044814158178624986828553
17	+0.0000000050020076444692229300556650480600
18	−0.0000000011812745704870201445881265654365
19	+0.0000000001043426711691100510491540332312
20	+0.0000000000077822634399050712540499373114
21	−0.0000000000036968056186422057081878158781
22	+0.0000000000005100370287454475979015481323
23	−0.0000000000000205832605356650678322242954
24	−0.0000000000000053481225394230179823700173
25	+0.0000000000000012267786282382607901588938
26	−0.0000000000000001181259301697458769513765
27	+0.0000000000000000011866922547516003325798
28	+0.0000000000000000014123806553180317815558
29	−0.0000000000000000002298745684435370206592
30	+0.0000000000000000000171440632192733743338

Una aproximació per a $a_{k}$ es pot trobar a l'obra abans esmentada de Fekih-Ahmed:

$a_{k}\approx (-1)^{n}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sqrt {n}}{n!}}\Im \left(e^{-nz_{0}}{\frac {z_{0}^{1/2-n}}{\sqrt {1+z_{0}}}}\right),$

on $z_{0}={\frac {e^{W_{-1}(-n)}}{-n}}$, i $W_{-1}$ és la menys la primera branca de la funció W de Lambert.

Desenvolupament asimptòtic

Com $\left\vert z\right\vert$ tendeix a l'infinit a una constant $arg(z)$ tenim:

$\ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad \qquad {\text{per a}}\quad |\arg(z)|<\pi$

Representació integral de contorn

Una representació integral segons Hermann Hankel és

${\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,$

on $H$ és el contorn d'Hankel, és a dir, el camí que envolta $0$ en la direcció positiva, que comença i torna a infinit positiu pel que fa a la branca tallada al llarg de l'eix real positiu. Segons Schmelzer & Trefethen, l'avaluació numèrica de la integral d'Hankel és la base d'alguns dels millors mètodes per a la computació de la funció gamma.

Representacions integrals en els enters positius

Per a enters positius $n\geq 1$, hi ha una integral per a la funció factorial inversa donada per

${\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-n\imath \vartheta }e^{e^{\imath \vartheta }}\ d\vartheta$.

De la mateixa manera, per a qualsevol real $c>0$ i $z\in \mathbb {C}$ es té la següent integral per a la funció gamma inversa al llarg de l'eix real en forma de:

${\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+\imath t)^{-z}e^{c+\imath t}dt,$

on el cas particular quan $z:=n+1/2$ proporciona una relació corresponent a la funció doble factorial inversa, ${\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}$.

Integral al llarg de l'eix real

La integració de la funció gamma inversa al llarg de l'eix real positiu dona el valor

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,$

que es coneix com la constant de Fransén-Robinson.

Bibliografia

• Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations Arxivat 2016-03-04 a Wayback Machine.
• Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function Arxivat 2020-05-31 a Wayback Machine.
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
• Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld

Vegeu també

• Funció de Bessel-Clifford
• Distribució gamma inversa