Llei de Curie

A un material paramagnètic, la magnetització del material és (aproximadament) directament proporcional al camp magnètic aplicat externament. Si el material s'escalfa, aquesta proporcionalitat es redueix: per a un camp extern donat, la magnetització és (aproximadament) inversament proporcional a la temperatura. Aquest fet constitueix la llei de Curie:

$\mathbf {M} =C\cdot {\frac {\mathbf {B} }{T}},$

on

$\mathbf {M}$ és la magnetització resultant.

$\mathbf {B}$ és el camp magnètic, mesurat en teslas

$T$ és la temperatura absoluta, mesurada en kèlvins

$C$ és la constant de Curie i el seu valor depèn del material.

Aquesta relació va ser descoberta experimentalment (ajustant els resultats a un model endevinat correctament) per Pierre Curie. Només és vàlida a altes temperatures o per a camps magnètics dèbils. Tal com les derivacions de sota mostren, la magnetització satura en els límits de baixes temperatures o camps magnètics forts.

Derivació usant mecànica quàntica

Magnetització d'un material paramagnètic en funció de l'invers de la temperatura.

Un model matemàtic simple d'un material paramagnètic és el que descriu el material com a format per partícules que no interaccionen entre si. Cada partícula té un moment magnètic donat per ${\vec {\mu }}$. L'energia d'un moment magnètic en un camp magnètic és

$E=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}.$

Partícules de dos estats (espín-1/2)

Per simplificar els càlculs, considerem una partícula de dos estats: pot alinear el seu moment magnètic amb el camp, o contra el camp. Per tant, els únics valors possibles del moment magnètic són $\mu$ i $-\mu$. Una partícula tal només té dues possibles energies:

$E_{0}=-\mu B$

i

$E_{1}=\mu B.$

Quan s'intenta calcular la magnetització d'un material paramagnètic, la quantitat a tenir en compte és la probabilitat que una partícula s'alinei amb el camp. En altres paraules, el valor esperat de la magnetització $\mu$:

$\left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),$

on la probabilitat d'una configuració determinada ve donada pel seu factor de Boltzmann, i la funció de partició $Z$ aporta la normalització (perquè la suma de totes sigui unitat). La funció de partició per a una partícula és:

$Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right).$

Per tant, en aquest cas tenim:

$\left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right).$

Això és la magnetització d'una sola partícula. La magnetització total del sòlid és:

$M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)$

La fórmula de dalt és coneguda com a l'equació paramagnètica de Langevin. Pierre Curie va trobar una aproximació per a aquesta llei que és vàlida per a les altes temperatures i els camps magnètics dèbils que usava en els seus experiments. Ara derivarem aquesta llei considerant $T$ gran i $B$ petit. Tal com la temperature augmenta i el camp disminueix, l'argument de la tangent hiperbòlica decreix. Una forma alternativa de dir això és

$\left({\mu B \over kT}\right)\ll 1,$

que a vegades s'anomena el límit de Curie. També sabem que, si $|x|\ll 1$, aleshores

$\tanh x\approx x$

i per tant

$\mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={N\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},$

amb una constant de Curie donada per $C=N\mu ^{2}/k$. En el límit oposat de baixes temperatures i camps grans, $M$ tendeix a un valor màxim de $N\mu$, que correspon a totes les partícules alineades amb el camp.

Cas general

Quan les partícules tenen un espín arbitrari (un nombre qualsevol d'estats d'espín), la fórmula és més complicada. A camps magnètics petits o a altes temperatures, l'espín segueix la llei de Curie amb

$C={\frac {\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}Ng^{2}J(J+1)$

on $J$ és el nombre quàntic de moment angular total i $g$ és el factor g de l'espín (tal que $\mu =gJ\mu _{B}$ és el moment magnètic).

Per a aquesta fórmula més general i la seva derivació (incloent camp alt i baixes temperatures), vegeu l'article: funció de Brillouin. Tal com l'espín s'acosta a infinit, la fórmula per a la magnetització tendeix al valor clàssic, derivat a la següent secció.

Derivació usant mecànica estadística clàssica

Un tractament alternatiu és possible quan els components del material paramagnètic es tracten de forma clàssica com a moments magnètics girant de forma lliure. En aquest cas, la seva posició queda definida pels seus angles en coordenades esfèriques, i l'energia d'un d'aquests és:

$E=-\mu B\cos \theta ,$

on $\theta$ és l'angle entre el moment magnètic i el camp magnètic (que consideram apuntant en la direcció $z$). La funció de partició corresponent és:

$Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).$

Podem observar que no hi ha dependència en l'angle $\phi$, i podem canviar variables $y=\cos \theta$ per obtenir

$Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}$

Ara el valor esperat del component $z$ de la magnetització (els altres dos són zero degut a la integració respecte a $\phi$) serà:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].$

Per simplificar els càlculs podem reescriure l'expressió anterior com a la derivada de $Z$:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over ZB}\partial _{\beta }Z.$

(Aquesta forma de resoldre el problema també es pot usar pel model de dalt, però en aquell cas la derivació donada és la més senzilla.)

Si calculam la derivada trobam:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),$

on $L$ és la funció de Langevin:

$L(x)=\coth x-{1 \over x}.$

Aquesta funció podria semblar singular per a $x$ petit, però no ho és, ja que els dos termes singular es cancel·len mútuament. De fet, per a arguments petits tenim $L(x)\approx x/3$, i per tant el límit de Curie també apareix, però amb una constant de Curie tres vegades més petita en aquest cas. De forma semblant, la funció satura a $1$ per a valors grans de l'argument, i també recuperam aquest límit.

Aplicacions

La llei de Curie és la base del funcionament dels termòmetres magnètics, que s'usen per mesurar temperatures molt baixes.

Vegeu també

• Llei de Curie-Weiss