Nombre primer de Newman-Shanks-Williams

En matemàtiques, un nombre primer de Newman-Shanks-Williams (o primer de NSW) és un nombre primer p que pot ser expressat com:

$S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}$.

Aquests nombres primers de NSW van ser descrits per primer cop per Morris Newman, Daniel Shanks i Hugh C. Williams l'any 1981 quan estudiaven els grups finits simples amb arrels quadrades. Els primers nombres primers de NSW són:

7, 41, 239, 9369319, 63018038201, …

que corresponen als nombres que tenen com a índex m:

3, 5, 7, 19, 29, …

La seqüència S que es mostra en la fórmula pot ser descrita a través de la següent relació de recurrència:

$S_{0}=1\,$

$S_{1}=1\,$

$S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-2}\qquad {\text{per tot }}n\geq 2.$

Els primers termes de la seqüència són:

1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, ...

Cada terme de la seqüència és igual a la meitat del terme corresponent en la sèrie de nombres de Pell-Lucas, seqüència definida com:

$Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{si }}n=0;\\2&{\mbox{si }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{altrament.}}\end{cases}}$

Altres expressions

Com a solució d'una equació diofantina

La fórmula explícita

$S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}.$

S'obté com a solució per $m$ per l'equació diofantina

$2n=m^{2}+1$

Interpretació geomètrica

L'equació diofantina de l'apartat anterior pot interpretar-se geomètricament amb $m$ indexant la diagonal dels quadrats de costat $n$ amb llargària igual a $1+m^{2}$.

Com a relació de recurrència

El valor de $m$ pot expressar-se com la relació de recurrència

$S(k)=6S(k-1)-S(k-2)$

Enllaços externs

• The Prime Glossary: NSW number