Operador de decalatge

En matemàtiques, i més concretament en anàlisi funcional, l'operador de decalatge és un operador que porta una funció f(·) a la seva translació f(· + a). En l'anàlisi de sèries temporals, hom diu que l'operador de decalatge és l'operador de retard.

Els operadors de decalatge són uns exemples d'operadors lineals, importants per la seva simplicitat i la seva presència natural. L'acció de l'operador de decalatge sobre funcions de variable real juga un rol important en anàlisi harmònica; per exemple, apareix en les definicions de les funcions quasi-periòdiques, les funcions definides positives i la convolució. Els decalatges sobre successions (funcions de variable entera) apareixen en àrees diverses, com ara els espais de Hardy, la teoria de varietats abelianes, o la teoria de dinàmica simbòlica, on l'aplicació del forner n'és una representació explícita.

Definició

Funcions de variable real

L'operador de decalatge T^t (t ∈ ℝ) porta una funció f sobre ℝ a la seva translació f_t,

$f_{t}(x)=f(x+t)~.$

Una representació pràctica de l'operador lineal T^t en termes de la seva derivada ^d⁄_dx fou introduïda per Lagrange,

$T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,$

que es pot interpretar com la seva expansió en sèrie de Taylor al voltant de t, i que actua evidentment sobre el monomi xⁿ pel teorema del binomi, i en conseqüència sobre tota la sèrie en x.

Successions

L'operador decalatge cap a l'esquerra actua sobre una successió de nombres infinita per una banda com

$S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )$

i sobre successions infinites per les dues bandes com

$T:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty }^{\infty }.$

L'operador decalatge cap a la dreta actua sobre una successió de nombres infinita per una banda com

$S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )$

i sobre successions infinites per les dues bandes com

$T^{-1}:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty }^{\infty }.$

Grups abelians

En general, si f és una funció sobre un grup abelià G, i g és un element de G, l'operador de decalatge T^g envia f a

$f_{g}(h)=f(g+h).$

Propietats de l'operador de decalatge

L'operador de decalatge, quan actua sobre funcions reals o complexes, o sobre successions, és un operador lineal que preserva la majoria de les normes habituals que apareixen a l'anàlisi funcional. Per tant, normalment és un operador afitat amb la norma-1.

Acció sobre espais de Hilbert

L'operador de decalatge, quan actua sobre successions infinites per les dues bandes, és un operador unitari sobre l₂(ℤ). L'operador de decalatge, quan actua sobre funcions de variable real és un operador unitari sobre L₂(ℝ).

En ambdós casos, l'operador de decalatge (per l'esquerra) satisfà la següent relació de commutativitat amb la transformada de Fourier:

${\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},$

on M^t és l'operador de multiplicació per exp(i t x). Per tant, l'espectre de T^t és la circumferència unitat.

L'operador de decalatge d'una sola banda S, quan actua sobre l₂(ℕ), és una isometria pròpia amb recorregut igual a tots els vectors que tenen la primera coordenada igual a 0. L'operador S és una compressió de T⁻¹, en el sentit que

$T^{-1}y=Sx{\text{ per tot }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),\,$

on y és el vector de l₂(ℤ) amb y_i = x_i per i ≥ 0 i y_i = 0 per i < 0. Aquesta observació és la base de la construcció de moltes dilatacions unitàries d'isometries.

L'espectre de S és el disc unitat. L'operador de decalatge S és un exemple d'un operador de Fredholm, amb índex −1.

Generalització

Jean Delsarte introduí la noció d'operador de decalatge generalitzat (també anomenat operador de desplaçament generalitzat); aquesta noció fou desenvolupada posteriorment per Boris Levitan.

Una família d'operadors {L^x}_{x ∈ X} actuant sobre un espai Φ de funcions d'un conjunt X a ℂ s'anomena família d'operadors de decalatge generalitzats si es compleixen les següents propietats:

1. Associativitat: sigui (R^yf)(x) = (L^xf)(y). Llavors L^xR^y = R^yL^x.
2. Existeix un e ∈ X tal que L^e és l'operador identitat.

En aquest cas, hom diu que el conjunt X és un hipergrup.

Bibliografia

• Partington, Jonathan R. Operator theory, advances and applications an analytical approach to control theory (en anglès). 1a ed.. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 2004. ISBN 0521546192. 
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James. Hardy classes and operator theory (en anglès). Unabridged, corr. republication.. Mineola, N.Y.: Dover Publications, 1997. ISBN 9780486695365. 

Vegeu també

• Desplaçament aritmètic
• Desplaçament lògic