Reducció d'ordre

En matemàtiques, la reducció d'ordre és una tècnica utilitzada per resoldre equacions diferencials ordinàries de segon ordre. Es fa servir quan la primera de dues solucions ($y_{1}$) és coneguda i es busca la segona ($y_{2}$).

Ús

Donada una equació diferencial

$y''+p(t)y'+q(t)y=0\,$

i una sola solució ($y_{1}(t)$), i sigui la segona solució definida per

$y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,$

on $v(t)$ és una funció arbitrària. Així,

$y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,$

i

$y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,$

Si se substitueixen per $y$, $y'$, i $y''$ a l'equació diferencial, llavors

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=0.$

Com que $y_{1}(t)$ és solució de l'equació diferencial original, $y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0$, es pot reduir a

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=0$

que és una equació diferencial de primer ordre per $v'(t)$. Dividint per $y_{1}(t)$, s'obté

$v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'=0$

i $v'(t)$ es pot trobar fent servir el mètode general. Un cop s'ha trobat $v'(t)$, s'integra i se substitueix a l'equació original per $y_{2}$:

$y_{2}=v(t)y_{1}(t).\,$

Bibliografia

• Teschl. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0. 

Referències

• (anglès) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
• (anglès) Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.