Teorema multinomial

En matemàtiques, el teorema multinomial és una expressió d'una potència d'una suma en termes de potències dels sumands. Per qualsevol enter positiu m i qualsevol enter no negatiu n, la fórmula multinomial és

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.$

El sumatori es realitza en totes les seqüències dels índexs enters no negatius k₁ a k_m tals que $\sum _{i=1}^{m}{k_{i}}=n$. Igual que en el teorema binomial, les quantitats de la forma 0⁰ que apareixen es consideren iguals a 1.

Els nombres

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}=\prod _{i=1}^{m}{\sum _{j=1}^{i}k_{j} \choose k_{i}}$

són els coeficients multinomials.

Els coeficients multinomials tenen una interpretació directa en combinatòria, com el nombre de formes de posar n objectes diferents en m capses, amb k₁ objectes a la primera capsa, k₂ objectes a la segona capsa, etcètera.

A més, el coeficient multinomial és també el nombre de formes diferents de permutar un conjunt de n elements, sent k_i el nombre de cops que es repeteix cada un dels diferents elements. Per exemple, el nombre de permutacions diferents de les lletres de la paraula ARRANJAR, que té 3 As, 3 Rs, 1 N, i 1 J és

${8 \choose 3,3,1,1}={\frac {8!}{3!\,3!\,1!\,1!}}=1120$

El teorema binomial és un cas especial, per m = 2, del teorema multinomial.

Demostració

Aquesta demostració del teorema multinomial usa el teorema binomial i el teorema d'inducció en m.

Pel pas inicial (m = 1), els dos costats valen $x_{1}^{n}$.

Pel pas inductiu, suposa el teorema multinomial per m. Llavors

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=$

$=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}=$

$=\sum _{k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m-1},K}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}=$

per la hipòtesi d'inducció, sent $K=k_{m}+k_{m+1}$.

Aplicant el teorema binomial a l'últim factor,

$=\sum _{k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m-1},K}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m},k_{m+1}}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}=$

$=\sum _{k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}$

que completa la inducció.

L'últim pas se segueix de

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},$

com es pot veure escrivint els tres coeficients usant factorials:

${\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}$