Usuari:Mcapdevila/Equació de Rarita-Schwinger

En física teòrica, l'equació de Rarita-Schwinger és l'equació d'evolució temporal relativista que descriu partícules Fermió iques d'espín 3/2, formulada el 1941 per William Rarita i Julian Schwinger. És similar a l'equació de Dirac per fermions d'espín 1/2.

Aquesta equació proporciona una funció d'ona útil per descriure objectes compostos com el barió Delta (Δ) d'espín 3/2. I suposadament també podria arribar a descriure partícules hipotètiques com el gravitino postulat per teories supersimètriques com la teoria de supercordes.

Formulació matemàtica

En la moderna notació l'equació de Rarita-Schwinger s'escriu com:

$\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }\psi _{\sigma }+m\psi ^{\mu }=0$

On:

$\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\;$ és el símbol de Levi-Civita totalment antisimètrica.

$\gamma ^{5}\;$ i $\gamma _{\nu }$ són les matrius de Dirac.

$m\;$ és la massa de les partícula descrites per l'equació.

$\psi _{\mu }\,{\text{, }}\psi ^{\mu }\;$ són els components (covariants i contravariants) d'un espinor vectorial amb components addicionals respecte als habituals en els espinors de Dirac.

L'equació anterior de fet correspon a la representació:

$\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\otimes \left(\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)\right)$

del grup de Lorentz o amb més precisió a la part:

$\left(1,{\frac {1}{2}}\right)\oplus \left({\frac {1}{2}},1\right)$

d'aquesta representació. A més a més, de la mateixa manera que succeeix amb l'equació de Dirac s'ha de tenir present que hi ha variants de "Weyl" i "Majorana" de l'equació de Rarita-Schwinger.

Una altra propietat interessant és que de la mateixa manera que l'equació de Dirac, la interacció entre el camp electromagnètic i un camp de Rarita-Schwinger pot ser modelitzat, d'acord amb el Principi d'acoblament mínim, mitjançant la substitució de les derivades parcials per derivades covariants basades en camps gauge:

$\partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu }$

L'equació de Rarita-Schwinger per a un camp sense massa té una simetria gauge d'invariància, sota transformacions del tipus:

$\psi _{\mu }\longmapsto \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon$

on ${\mathcal {\epsilon }}$ és un camp espinorial arbitrari.

Lagrange del camp

El camp fermiònic d'espín 3/2 descrit per l'equació RS anterior pot derivar-se del següent lagrangià:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }\psi _{\sigma }-m{\bar {\psi }}_{\mu }\psi ^{\mu }$

On la barra sobre $\psi _{\mu }$ denota l'adjunt de Dirac.

Problemes de l'equació RS

La descripció habitual de camps espinoriales amb massa, tant en la formulació de Rarita-Schwinger com en la de Fierz-Pauli, presenta disversos problemes físics.

Després de considerar transformacions de gauge, s'ha demostrat que les equacions prediuen efectes acausals per a camps ferminónios d'alt espín, com per exemple la propagació superlumínica. Això últim va ser demostrat teòricament per Velo i Zwanziger el 1969 per un camp de Rarita-Schwinger en interacció amb el camp electromagnètic. També s'han trobat inconsistències algebraiques amb les transformacions de gauge, que només poden ser evitades si qualsevol restricció que involucri les derivades del camp deriva d'un lagrangià.

Referències

• W. Rarita and J. Schwinger, On a Theory of Particles with Half-Integral Spin Phys Rev 60, 61 (1941).
• Collins PDB, Martin AD, Squires EJ, Particle physics and Cosmology (1989) Wiley, Section 06/01 .
• G. Vel, D. Zwanziger, Phys Rev 186, 1337 (1969).
• G. Vel, D. Zwanziger, Phys Rev 188, 2218 (1969).
• M. Kobayashi, A. Shamaly, Phys Rev D 17,8, 2.179 (1978).