Vectors Q

Els vectors Q s'utilitzen en la dinàmica atmosfèrica per entendre processos físics com el moviment vertical i la frontogènesi. Els vectors Q no són magnituds físiques que es poden mesurar a l'atmosfera sinó que es deriven de les equacions quasigeostròfiques i es poden utilitzar en situacions de diagnòstic anteriors. A les cartes meteorològiques, els vectors Q apunten cap amunt i allunyant-se del moviment descendent. Els vectors Q són una alternativa a l'equació omega per diagnosticar el moviment vertical en les equacions quasigeostròfiques.

Derivació

Derivat per primera vegada el 1978, La derivació del vector Q es pot simplificar per a les latituds mitjanes, utilitzant les equacions de predicció quasi geostròfiques del pla β de latitud mitjana:

1. ${\frac {D_{g}u_{g}}{Dt}}-f_{0}v_{a}-\beta yv_{g}=0$ (component x de l'equació del moment quasigeostròfic)
2. ${\frac {D_{g}v_{g}}{Dt}}+f_{0}u_{a}+\beta yu_{g}=0$ (component y de l'equació del moment quasigeostròfic)
3. ${\frac {D_{g}T}{Dt}}-{\frac {\sigma p}{R}}\omega ={\frac {J}{c_{p}}}$ (equació termodinàmica quasigeostròfica)

I les equacions del vent tèrmic:

$f_{0}{\frac {\partial u_{g}}{\partial p}}={\frac {R}{p}}{\frac {\partial T}{\partial y}}$ (x component of thermal wind equation)

$f_{0}{\frac {\partial v_{g}}{\partial p}}=-{\frac {R}{p}}{\frac {\partial T}{\partial x}}$ (y component of thermal wind equation)

on $f_{0}$ és el paràmetre de Coriolis,

aproximada per la constant 1e⁻⁴ s⁻¹; $R$ és la constant del gas ideal atmosfèric; $\beta$ és el canvi de latitud en el paràmetre de Coriolis $\beta ={\frac {\partial f}{\partial y}}$; $\sigma$ és un paràmetre d'estabilitat estàtica; $c_{p}$ és la calor específica a pressió constant; $p$ és pressió; $T$ és la temperatura; qualsevol cosa amb un subíndex $g$ indica geostròfic; qualsevol cosa amb un subíndex $a$ indica ageostròfic; $J$ és una velocitat d'escalfament diabàtica; i $\omega$ és la velocitat de canvi de pressió lagrangià amb el temps. $\omega ={\frac {Dp}{Dt}}$. Tingueu en compte que com que la pressió disminueix amb l'alçada a l'atmosfera, un valor negatiu de $\omega$ és un moviment vertical ascendent, anàleg a $+w={\frac {Dz}{Dt}}$.

A partir d'aquestes equacions podem obtenir expressions per al vector Q:

$Q_{i}=-{\frac {R}{\sigma p}}\left[{\frac {\partial u_{g}}{\partial x}}{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{g}}{\partial x}}{\frac {\partial T}{\partial y}}\right]$

$Q_{j}=-{\frac {R}{\sigma p}}\left[{\frac {\partial u_{g}}{\partial y}}{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{g}}{\partial y}}{\frac {\partial T}{\partial y}}\right]$

I en forma vectorial:

$Q_{i}=-{\frac {R}{\sigma p}}{\frac {\partial {\vec {V_{g}}}}{\partial x}}\cdot {\vec {\nabla }}T$

$Q_{j}=-{\frac {R}{\sigma p}}{\frac {\partial {\vec {V_{g}}}}{\partial y}}\cdot {\vec {\nabla }}T$

En connectar aquestes equacions del vector Q a l'equació omega quasigeostròfica dóna:

$\left(\sigma {\overrightarrow {\nabla ^{2}}}+f_{\circ }^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial p^{2}}}\right)\omega =-2{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}+f_{\circ }\beta {\frac {\partial v_{g}}{\partial p}}-{\frac {\kappa }{p}}{\overrightarrow {\nabla ^{2}}}J$

Si les segones derivades s'aproximen com a signe negatiu, com és cert per a una funció sinusoïdal, l'anterior en un entorn adiabàtic es pot veure com una afirmació sobre el moviment ascendent:

$-\omega \propto -2{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}$

L'ampliació del costat esquerre de l'equació omega quasi geostròfica en una sèrie de Fourier dóna el $-\omega$ anterior, el que implica que a $-\omega$ es pot suposar una relació amb el costat dret de l'equació omega quasigeostròfica.

Aquesta expressió mostra que la divergència del vector Q (${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}$) s'associa amb el moviment descendent. Per tant, forces convergents ${\vec {Q}}$ ascendeixen i les forces divergents ${\vec {Q}}$ descendeixen. Els vectors Q i tot el flux ageostròfic existeix per preservar l'equilibri del vent tèrmic. Per tant, els vectors Q de baix nivell tendeixen a apuntar en la direcció dels vents ageostròfics de baix nivell.

Aplicacions

Els vectors Q es poden determinar completament amb: l'altura geopotencial ($\Phi$) i temperatura en una superfície de pressió constant. Els vectors Q sempre apunten en la direcció de l'aire ascendent. Per a un cicló i un anticicló idealitzats a l'hemisferi nord (on ${\frac {\partial T}{\partial y}}<0$), Els ciclons tenen vectors Q que apunten paral·lels al vent tèrmic i els anticiclons tenen vectors Q que apunten antiparal·lels al vent tèrmic. Això significa moviment ascendent a l'àrea d'advecció d'aire càlid i moviment descendent a l'àrea d'advecció d'aire fred.

En la frontogènesi, els gradients de temperatura s'han d'ajustar per a la iniciació. Per a aquestes situacions, els vectors Q apunten cap a l'aire ascendent i els gradients tèrmics que augmenten. A les zones de vectors Q convergents, es crea vorticitat ciclònica, i a les zones divergents, es crea vorticitat anticiclònica.