Conjunt de solucions
En matemàtiques, un conjunt de solucions és el conjunt de valors que satisfan un conjunt d'equacions o inequacions donat.
Per exemple, per al conjunt de polinomis sobre l'anell , el conjunt de dolucions és el subconjunt de en què els polinomis desapareixen (donen 0 en ser avaluats), formalment
La regió factible d'un problema d'optimització amb restriccions és el conjunt de solucions de les restriccions.
Exemples[modifica]
- El conjunt de solucions de l'equació simple és el conjunt {0}.
- Donat un polinomi no nul qualsevol sobre els nombres complexos en una variable, el conjunt de solucions està format per una infinitat de punts.
- Tanmateix, en el cas d'un polinomi complex en més d'una variable el conjunt de solucions no té punts aïllats.
Observació[modifica]
En geometria algebraica, els conjunts de solucions són anomenats varietats algebraiques si no hi ha desigualtats. Sobre els reals, i amb desigualtats, reben el nom de conjunts semialgebraics.
Generalització[modifica]
Més generalment, el conjunt de solucions d'una col·lecció arbitrària E de relacions (Ei) (i varia en un cert conjunt d'índexs I) per una col·lecció d'incògnites , que se suposa que prenen valors en els seus espais respectius , és el conjunt S de totes les solucions a les relacions E, on una solució és una família de valors tals que, en substituir per en la col·lecció E fa que totes les relacions es compleixin.
El cas anterior és un cas particular d'aquest, quan el conjunt de polinomis fi és interpretat com el conjunt d'equacions fi(x)=0.
Exemples[modifica]
- El conjunt de solucions de E = { x+y = 0 } respecte és S = { (a,−a) : a ∈ R }.
- El conjunt de solucions de E = { x+y = 0 } respecte és S = { −y }. (Aquí, y no és "declarat" com una incògnita, sinó que és vist com un paràmetre de què l'equació, i per tant el conjunt de solucions, depèn.)
- El conjunt de solucions de respecte és l'interval S = [0,2] (ja que no està definit per a valors negatius de x).
- El conjunt de solucions de respecte és S = 2πZ (vegeu Identitat d'Euler).